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摘 要：在新课程标准下，学生的数学学习不只限于接受、记忆、模仿和练习. 本文通过对《余弦定理》的教学设计，讨论如何使教学过程成为学生的再创造过程，达到培养学生创新能力的目的.
关键词：自主探索；合作交流；创新意识
普通高中数学课程标准中明确指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式． 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．在“接受、记忆、模仿和练习”这样的学习方式下，学生处于被动地位，大多是机械学会一些知识与技能，不可能有新的发现，更谈不上培养创新能力． 而“自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学”这种学习方式要求教师对教材进行合理设计，使学生的学习过程相当于进行一次科学研究的过程：发现问题、研究问题、解决问题、总结提高. 经常以这样的方式学习，能激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，从体验数学发现和创造的历程中发展他们的创新意识． 下面从《余弦定理》的教学设计说明如何使教学过程成为学生的再创造过程．
创设情境，发现问题
教师：如图1，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形ABDE的面积SABDE与两个正方形BCFG，CAHK的面积之和SBCFG＋SCAHK有怎样的大小关系？
学生：根据勾股定理a2＋b2＝c2得，SABDE＝SBCFG＋SCAHK．
教师：学生能否对上面问题进行一些改变，得到新的问题？
经过思考，同学们纷纷说出自己的想法．如下面一些问题：
（1）分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正三角形，那么以AB为边作的正三角形面积与以AC，BC为边作的两个正三角形面积之和有怎样的大小关系？
（2）分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向三角形外作三个半圆，则以AB为直径的半圆面积与以AC，BC为直径的两个半圆面积之和有怎样的大小关系？
（3）分别以锐角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形的面积SABDE与两个正方形BCFG、CAHK的面积之和SBCFG＋SCAHK有怎样的大小关系？
（4）分别以钝角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形的面积SABDE与两个正方形BCFG，CAHK的面积之和SBCFG＋SCAHK有怎样的大小关系？
教师：对刚才大家的想法归纳一下，主要在两方面作出改变，一是保持直角△ABC不变，分别以三边AB，BC，CA为边向三角形外作的图形改变，如正三角形、半圆、……，研究它们面积关系；另一方面是保持作正方形不变，把直角△ABC换成锐角三角形、钝角三角形、……，研究面积之间关系．从已知问题出发，只要做一些变化，就能发现很多新的问题，这一节课我们选定其中一个问题进行探究．如果把上面问题中的直角△ABC换成锐角△ABC，那么问题的结果有什么变化？
……
数学是研究空间形式和数量关系的科学，生活又是数学的源泉，人类生活的空间越来越广阔，内容也越来越丰富，这绚丽多彩的生活正是数学的温床． 提出问题是“知识之母”，是由未知通向已知的桥梁． 现在多数学生对日常生活中的一些数学现象熟视无睹，缺乏数学意识，不会提出问题. 而其中最常见的提问方法就是对已知问题进行变化，让学生在已有问题基础上，改变其中的元素或关系，出现新的问题． 在创设问题情境时，教师不应把问题框得很死，比如本课中从比较面积大小这样的问题出发，它就比直接从勾股定理出发可以有更多点的变化，有利于培养学生从已有问题出发发现新问题的能力. 不同水平的学生都能参与到这样的探索发现过程中来，找出不一样的新问题. 这方面的能力和意识对学生而言，比解决一个问题更为重要，这是创新能力的核心． 其实创造性并不神秘，求异思维的冲动和能力，可以说是人人都有的与生俱来的禀赋，是人类适应各种环境的天然保障．而问题意识、问题能力可以说是创新意识、创新能力的基础． 陶行知先生就言简意赅地说，创造始于问题． 有了问题才会思考，有了思考，才有解决问题的方法，才有找到独立思路的可能．
抓住本质，转化问题
教师：我们把直角△ABC中的∠C换成锐角，请同学们考虑一下，如何比较SABDE与SBCFG＋SCAHK的大小？
学生：不妨设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则SABDE＝c2，SBCFG＋SCAHK＝a2＋b2，要比较SABDE与SBCFG＋SCAHK的大小，只要比较c2与a2＋b2的大小．
教师：这位同学把问题转化为用三角形的边来表示的形式，抓住本质，化繁为简，非常好！
……．
数学是集抽象性、逻辑性、严密性、精确性、想象力、创造性于一身的一门科学，其中高度的抽象性是区别于其他学科的一种重要特征． 在数学概念、原理、法则等教学中都要体现这种抽象概括能力的培养，这种能力很强，那么就容易把自己发现的问题转化为数学问题. 在解决数学建模问题时，学生感到最困难的就是找不出实际问题中各个量之间的复杂关系的本质，从而也就不能用数学符号表示量与量之间的联系． 在教学设计时，尽可能让学生体验到这种抽象的过程． 在保持了问题本质的情况下简化问题，去除次要因素，更有利于研究． 这正是在设计时，为什么不直接要求学生比较c2与a2＋b2大小的原因，如果这样做，就失去了对学生抽象能力的训练． 这种透过现象、抓住本质、排除干扰、化繁为简是推动科学向前发展的一种方法，在科学研究中发挥了很大作用． 正如欧拉解决著名的“七桥问题”那样，抛弃了桥的长短，岛和陆地的大小等非本质因素，抓住了事物间的连接关系这一个本质因素，最终找出问题的解决方案．
寻求方法，合理铺垫
教师：当∠C为锐角时，你能否先猜一猜c2与a2＋b2的大小关系？
学生：可以通过特殊值法来猜一猜c2与a2＋b2的大小关系．例如，可以取∠C＝60°时，研究c2与a2＋b2的大小．
教师：回答的非常好，我们可以先研究一下特殊情况，请同学们自己探究一下，当∠ACB＝60°时，c2与a2＋b2的大小关系．
经过几分钟的思考，有如下结果：
图3
学生：如图3，当∠ACB＝60°，过点B作AC的垂线，垂足为D，在直角△BCD中，BC＝a，∠BCD＝60°，所以BD＝a，CD＝a． 所以AD＝b－a，在直角△ABD中，根据勾股定理，得c2＝BD2＋AD2＝a2＋b2－ab． 因为ab＞0，所以c2＜a2＋b2．
教师：怎么想到要过B作AC的垂线的呢？
学生：因为通过用垂线可以把锐角三角形转化为直角三角形，利用直角三角形的勾股定理来解决问题．
教师：回答得非常正确，数学中解决问题有一条非常重要的策略，就是把未知的转化为已知的，用已经得到的结论来解决未知问题． 从上面解决问题中，我们得到c2＝a2＋b2－ab． 说明c可以用a，b来表示，即用CA，CB表示AB．你还有什么方法用CA，CB表示AB吗？
学生：在△ABC中，因为＝－．
教师：很好！用向量非常容易做到这一点，能否把向量之间关系进一步转化为用a，b表示c的式子？
学生：两边平方得2＝2＋2－2•，根据•＝abcos∠ACB＝abcos60°＝ab，代入得c2＝a2＋b2－ab．
教师：哪位同学能简单地说一下是如何想到这种方法的？
学生：因为，的模与夹角都已知，根据平面向量基本定理，可以用，表示，从而的模也可以用，的模表示．
教师：前面我们刚学习的向量，它不仅有几何的直观性，而且有代数的严密性，是解决几何问题的有力工具．
?摇 ……
从特殊到一般是科学研究的重要的思维方法，数学探究也不例外，对一个问题进行研究时，我们通常会选择特殊情况试一试，再看一看解决特殊问题的方法对一般问题是否也适用，这样做常常更容易找到解决问题的切入点． 平时教学时，我们教师应该重视这种思维训练，不能直接把证明方法演示给学生看一遍. 对如何想到这种方法不加辨析，这是一种重结果，轻过程的表现． 在教学中宁可少练一两道题目，也要舍得花时间阐明问题的来龙去脉，这是真正培养学生能力的方法． 即使当堂测试效果可能不如课堂上多练几道题的好，但长期下去，学生分析问题、解决问题的能力一定会有显著提高． 比如江苏省2007年、2008年的高考数学试题中，都对学生从特殊到一般的能力进行了考查，有这种研究问题方法和意识的学生很容易入手，找到解决问题的途径，这也是新课程标准所要体现的一个重要方面．
推广拓展，建构新知
教师：刚才通过对特殊情况的研究，得出在△ABC中，c可以用a，b，C来表示，从而得c2＜a2＋b2． 对一般情况是否也拥有类似的关系？
学生：应该也有类似的结论．
教师：有没有什么依据，可以说明一定有这样的关系？
学生：因为在平面几何中，两个三角形如果有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等，一个三角形如果有两边及其夹角确定，那么第三边也是确定的． 因此可以用已知的两边和夹角来表示． 因此，当a，b，∠ACB一定时，c边也是一定的，即c可以用a，b，∠ACB表示．
教师：对，大家能否推导出一般情况下的结论？即在△ABC中，已知a，b，C，求c．
经过巡视后，学生基本采用解决∠ACB＝60°时的两种方法，请两位用不同方法解题的学生把他们的解答过程写到黑板上．
教师：请同学们看一看这两位同学的推导是否正确，哪一位更好一点？
学生：两位同学的推导都对，没有问题，都很好．
教师：是这样的吗？有没有哪一位同学还有不同的看法？
经过短暂思考后，有一位学生这样评价：
学生：用向量方法推导的更好一点，用转化为直角三角形方法推导的过程中有一点问题，用作垂线转化为直角三角形的方法，当∠ACB不是60°时，必须对∠ACB大小进行讨论，也就是过点B作AC的垂线，要对垂足的位置进行讨论．
①当C为锐角时，垂足D在线段AC上，且不与端点重合，如图4，AD＝b－acosC，……．
②当C为直角时，垂足D与点C重合，AD＝b，……．
③当C为钝角时，垂足D在线段AC的延长线上，如图5，AD＝AC＋CD＝b＋acos（π－C）＝b－acosC，……．
教师：这位同学评价地非常好！过点B向AC作垂线时，当C为锐角、直角、钝角时，垂足的位置不同，因此，要进行分类讨论，不能只考虑锐角一种情况． 相比之下，向量法就显得更为简洁． 在△ABC中，把关系c2＝a2＋b2－2abcosC称为余弦定理．同学们能再写出一些类似的结论吗？
学生：只要把上面结果中的c与b，C与B互换，得b2＝a2＋c2－2accosB． 把上面结果中的a与c，A与C互换，得a2＝b2＋c2－2bccosA．
教师：一般我们把这三个等式c2＝a2＋b2－2abcosC，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB都称作余弦定理． 请同学们记一下它们的特征，并试一试用文字语言表述一下这个关系．
学生：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它夹角的余弦的积的两倍．
教师：请大家考虑一下，余弦定理与勾股定理之间有什么关系？
学生：勾股定理可以看成是余弦定理的特殊情况，只要在c2＝a2＋b2－2abcosC中取C＝90°就可以得勾股定理，而余弦定理可以看成是勾股定理的推广．
教师：余弦定理可以帮我们解决哪些问题？
学生：可以解决已知两边和它们的夹角，求第三边．
学生：可以解决已知三边，求三个角．只要把余弦定理变形成：
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝．
……．
对特殊情况成立的结论，要推广到一般情况也成立必须进行证明，这是数学不同于其他一些学科的地方. 有些学科可能会把实验得来的结果当做定理公式直接应用，认为这就是一种证明，而数学是不允许这么做的，这正是数学的严谨、规范之所在. 对有些无法证明的正确结论或不可定义的基本概念采用公理或叙述性说明，决不模棱两可、含糊其辞． 在证明中需要对不同情况进行分类说明的地方，也不能只选择其中一种进行证明． 在得到一个关系后，让学生通过类比找出其他关系，这样一些做法的目的也就是不断强化学生的数学意识，努力培养他们实事求是的态度、锲而不舍的精神．
数学是人类智力的创造物，因而成为训练人的智力、提高人的智力水平的最有效的途径，对培养人类思维的深度、广度而言，再没有其他任何一门学科能与数学相比了．
教学设计中，要注意引导学生对不同的思维方法进行比较分析，提高思维的严密性、完整性、灵活性． 同时要让学生学会对探究得到的结论加以总结提升，这是研究问题的重要环节． 新课标之所以突出研究性和创新意识，其目的就是在教学过程中创设一种类似科学研究的情境或途径，让学生在教师引导下，用类似科学研究的方式，利用已有知识和经验，主动地去探索、发现新的问题，从而学会对信息进行收集、分析和判断，去获取新知识、转化新情境、解决新问题. 通过这样的学习，增强思考力和创造力，培养创新精神和实践能力．
关键词：自主探索；合作交流；创新意识
普通高中数学课程标准中明确指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式． 这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．在“接受、记忆、模仿和练习”这样的学习方式下，学生处于被动地位，大多是机械学会一些知识与技能，不可能有新的发现，更谈不上培养创新能力． 而“自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学”这种学习方式要求教师对教材进行合理设计，使学生的学习过程相当于进行一次科学研究的过程：发现问题、研究问题、解决问题、总结提高. 经常以这样的方式学习，能激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，从体验数学发现和创造的历程中发展他们的创新意识． 下面从《余弦定理》的教学设计说明如何使教学过程成为学生的再创造过程．
创设情境，发现问题
教师：如图1，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形ABDE的面积SABDE与两个正方形BCFG，CAHK的面积之和SBCFG＋SCAHK有怎样的大小关系？
学生：根据勾股定理a2＋b2＝c2得，SABDE＝SBCFG＋SCAHK．
教师：学生能否对上面问题进行一些改变，得到新的问题？
经过思考，同学们纷纷说出自己的想法．如下面一些问题：
（1）分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正三角形，那么以AB为边作的正三角形面积与以AC，BC为边作的两个正三角形面积之和有怎样的大小关系？
（2）分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向三角形外作三个半圆，则以AB为直径的半圆面积与以AC，BC为直径的两个半圆面积之和有怎样的大小关系？
（3）分别以锐角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形的面积SABDE与两个正方形BCFG、CAHK的面积之和SBCFG＋SCAHK有怎样的大小关系？
（4）分别以钝角△ABC的三边AB，BC，CA为边向三角形外作三个正方形ABDE，BCFG，CAHK，那么正方形的面积SABDE与两个正方形BCFG，CAHK的面积之和SBCFG＋SCAHK有怎样的大小关系？
教师：对刚才大家的想法归纳一下，主要在两方面作出改变，一是保持直角△ABC不变，分别以三边AB，BC，CA为边向三角形外作的图形改变，如正三角形、半圆、……，研究它们面积关系；另一方面是保持作正方形不变，把直角△ABC换成锐角三角形、钝角三角形、……，研究面积之间关系．从已知问题出发，只要做一些变化，就能发现很多新的问题，这一节课我们选定其中一个问题进行探究．如果把上面问题中的直角△ABC换成锐角△ABC，那么问题的结果有什么变化？
……
数学是研究空间形式和数量关系的科学，生活又是数学的源泉，人类生活的空间越来越广阔，内容也越来越丰富，这绚丽多彩的生活正是数学的温床． 提出问题是“知识之母”，是由未知通向已知的桥梁． 现在多数学生对日常生活中的一些数学现象熟视无睹，缺乏数学意识，不会提出问题. 而其中最常见的提问方法就是对已知问题进行变化，让学生在已有问题基础上，改变其中的元素或关系，出现新的问题． 在创设问题情境时，教师不应把问题框得很死，比如本课中从比较面积大小这样的问题出发，它就比直接从勾股定理出发可以有更多点的变化，有利于培养学生从已有问题出发发现新问题的能力. 不同水平的学生都能参与到这样的探索发现过程中来，找出不一样的新问题. 这方面的能力和意识对学生而言，比解决一个问题更为重要，这是创新能力的核心． 其实创造性并不神秘，求异思维的冲动和能力，可以说是人人都有的与生俱来的禀赋，是人类适应各种环境的天然保障．而问题意识、问题能力可以说是创新意识、创新能力的基础． 陶行知先生就言简意赅地说，创造始于问题． 有了问题才会思考，有了思考，才有解决问题的方法，才有找到独立思路的可能．
抓住本质，转化问题
教师：我们把直角△ABC中的∠C换成锐角，请同学们考虑一下，如何比较SABDE与SBCFG＋SCAHK的大小？
学生：不妨设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则SABDE＝c2，SBCFG＋SCAHK＝a2＋b2，要比较SABDE与SBCFG＋SCAHK的大小，只要比较c2与a2＋b2的大小．
教师：这位同学把问题转化为用三角形的边来表示的形式，抓住本质，化繁为简，非常好！
……．
数学是集抽象性、逻辑性、严密性、精确性、想象力、创造性于一身的一门科学，其中高度的抽象性是区别于其他学科的一种重要特征． 在数学概念、原理、法则等教学中都要体现这种抽象概括能力的培养，这种能力很强，那么就容易把自己发现的问题转化为数学问题. 在解决数学建模问题时，学生感到最困难的就是找不出实际问题中各个量之间的复杂关系的本质，从而也就不能用数学符号表示量与量之间的联系． 在教学设计时，尽可能让学生体验到这种抽象的过程． 在保持了问题本质的情况下简化问题，去除次要因素，更有利于研究． 这正是在设计时，为什么不直接要求学生比较c2与a2＋b2大小的原因，如果这样做，就失去了对学生抽象能力的训练． 这种透过现象、抓住本质、排除干扰、化繁为简是推动科学向前发展的一种方法，在科学研究中发挥了很大作用． 正如欧拉解决著名的“七桥问题”那样，抛弃了桥的长短，岛和陆地的大小等非本质因素，抓住了事物间的连接关系这一个本质因素，最终找出问题的解决方案．
寻求方法，合理铺垫
教师：当∠C为锐角时，你能否先猜一猜c2与a2＋b2的大小关系？
学生：可以通过特殊值法来猜一猜c2与a2＋b2的大小关系．例如，可以取∠C＝60°时，研究c2与a2＋b2的大小．
教师：回答的非常好，我们可以先研究一下特殊情况，请同学们自己探究一下，当∠ACB＝60°时，c2与a2＋b2的大小关系．
经过几分钟的思考，有如下结果：
图3
学生：如图3，当∠ACB＝60°，过点B作AC的垂线，垂足为D，在直角△BCD中，BC＝a，∠BCD＝60°，所以BD＝a，CD＝a． 所以AD＝b－a，在直角△ABD中，根据勾股定理，得c2＝BD2＋AD2＝a2＋b2－ab． 因为ab＞0，所以c2＜a2＋b2．
教师：怎么想到要过B作AC的垂线的呢？
学生：因为通过用垂线可以把锐角三角形转化为直角三角形，利用直角三角形的勾股定理来解决问题．
教师：回答得非常正确，数学中解决问题有一条非常重要的策略，就是把未知的转化为已知的，用已经得到的结论来解决未知问题． 从上面解决问题中，我们得到c2＝a2＋b2－ab． 说明c可以用a，b来表示，即用CA，CB表示AB．你还有什么方法用CA，CB表示AB吗？
学生：在△ABC中，因为＝－．
教师：很好！用向量非常容易做到这一点，能否把向量之间关系进一步转化为用a，b表示c的式子？
学生：两边平方得2＝2＋2－2•，根据•＝abcos∠ACB＝abcos60°＝ab，代入得c2＝a2＋b2－ab．
教师：哪位同学能简单地说一下是如何想到这种方法的？
学生：因为，的模与夹角都已知，根据平面向量基本定理，可以用，表示，从而的模也可以用，的模表示．
教师：前面我们刚学习的向量，它不仅有几何的直观性，而且有代数的严密性，是解决几何问题的有力工具．
?摇 ……
从特殊到一般是科学研究的重要的思维方法，数学探究也不例外，对一个问题进行研究时，我们通常会选择特殊情况试一试，再看一看解决特殊问题的方法对一般问题是否也适用，这样做常常更容易找到解决问题的切入点． 平时教学时，我们教师应该重视这种思维训练，不能直接把证明方法演示给学生看一遍. 对如何想到这种方法不加辨析，这是一种重结果，轻过程的表现． 在教学中宁可少练一两道题目，也要舍得花时间阐明问题的来龙去脉，这是真正培养学生能力的方法． 即使当堂测试效果可能不如课堂上多练几道题的好，但长期下去，学生分析问题、解决问题的能力一定会有显著提高． 比如江苏省2007年、2008年的高考数学试题中，都对学生从特殊到一般的能力进行了考查，有这种研究问题方法和意识的学生很容易入手，找到解决问题的途径，这也是新课程标准所要体现的一个重要方面．
推广拓展，建构新知
教师：刚才通过对特殊情况的研究，得出在△ABC中，c可以用a，b，C来表示，从而得c2＜a2＋b2． 对一般情况是否也拥有类似的关系？
学生：应该也有类似的结论．
教师：有没有什么依据，可以说明一定有这样的关系？
学生：因为在平面几何中，两个三角形如果有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等，一个三角形如果有两边及其夹角确定，那么第三边也是确定的． 因此可以用已知的两边和夹角来表示． 因此，当a，b，∠ACB一定时，c边也是一定的，即c可以用a，b，∠ACB表示．
教师：对，大家能否推导出一般情况下的结论？即在△ABC中，已知a，b，C，求c．
经过巡视后，学生基本采用解决∠ACB＝60°时的两种方法，请两位用不同方法解题的学生把他们的解答过程写到黑板上．
教师：请同学们看一看这两位同学的推导是否正确，哪一位更好一点？
学生：两位同学的推导都对，没有问题，都很好．
教师：是这样的吗？有没有哪一位同学还有不同的看法？
经过短暂思考后，有一位学生这样评价：
学生：用向量方法推导的更好一点，用转化为直角三角形方法推导的过程中有一点问题，用作垂线转化为直角三角形的方法，当∠ACB不是60°时，必须对∠ACB大小进行讨论，也就是过点B作AC的垂线，要对垂足的位置进行讨论．
①当C为锐角时，垂足D在线段AC上，且不与端点重合，如图4，AD＝b－acosC，……．
②当C为直角时，垂足D与点C重合，AD＝b，……．
③当C为钝角时，垂足D在线段AC的延长线上，如图5，AD＝AC＋CD＝b＋acos（π－C）＝b－acosC，……．
教师：这位同学评价地非常好！过点B向AC作垂线时，当C为锐角、直角、钝角时，垂足的位置不同，因此，要进行分类讨论，不能只考虑锐角一种情况． 相比之下，向量法就显得更为简洁． 在△ABC中，把关系c2＝a2＋b2－2abcosC称为余弦定理．同学们能再写出一些类似的结论吗？
学生：只要把上面结果中的c与b，C与B互换，得b2＝a2＋c2－2accosB． 把上面结果中的a与c，A与C互换，得a2＝b2＋c2－2bccosA．
教师：一般我们把这三个等式c2＝a2＋b2－2abcosC，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB都称作余弦定理． 请同学们记一下它们的特征，并试一试用文字语言表述一下这个关系．
学生：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它夹角的余弦的积的两倍．
教师：请大家考虑一下，余弦定理与勾股定理之间有什么关系？
学生：勾股定理可以看成是余弦定理的特殊情况，只要在c2＝a2＋b2－2abcosC中取C＝90°就可以得勾股定理，而余弦定理可以看成是勾股定理的推广．
教师：余弦定理可以帮我们解决哪些问题？
学生：可以解决已知两边和它们的夹角，求第三边．
学生：可以解决已知三边，求三个角．只要把余弦定理变形成：
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝．
……．
对特殊情况成立的结论，要推广到一般情况也成立必须进行证明，这是数学不同于其他一些学科的地方. 有些学科可能会把实验得来的结果当做定理公式直接应用，认为这就是一种证明，而数学是不允许这么做的，这正是数学的严谨、规范之所在. 对有些无法证明的正确结论或不可定义的基本概念采用公理或叙述性说明，决不模棱两可、含糊其辞． 在证明中需要对不同情况进行分类说明的地方，也不能只选择其中一种进行证明． 在得到一个关系后，让学生通过类比找出其他关系，这样一些做法的目的也就是不断强化学生的数学意识，努力培养他们实事求是的态度、锲而不舍的精神．
数学是人类智力的创造物，因而成为训练人的智力、提高人的智力水平的最有效的途径，对培养人类思维的深度、广度而言，再没有其他任何一门学科能与数学相比了．
教学设计中，要注意引导学生对不同的思维方法进行比较分析，提高思维的严密性、完整性、灵活性． 同时要让学生学会对探究得到的结论加以总结提升，这是研究问题的重要环节． 新课标之所以突出研究性和创新意识，其目的就是在教学过程中创设一种类似科学研究的情境或途径，让学生在教师引导下，用类似科学研究的方式，利用已有知识和经验，主动地去探索、发现新的问题，从而学会对信息进行收集、分析和判断，去获取新知识、转化新情境、解决新问题. 通过这样的学习，增强思考力和创造力，培养创新精神和实践能力．