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摘要： 提出了一种考虑动力学特性的机床固定结合面形状的拓扑设计方法，将固定结合面实际接触区域的接触刚度模型等效为一种有限单元材料模型，给出了其材料等效模型——弹性模量及剪切模量的计算方法，并以此等效模型确定了固定结合面接触单元的刚度矩阵。采用渐进结构优化法进行固定结合部接触区域拓扑形状的优化设计，即采用删除准则，消除对总体固有频率贡献较小的接触区域材料，达到主动设计结合面实际接触区域的拓扑结构。通过车头箱与斜床身的螺钉结合面的工程案例，阐述了拓扑形状的动力学主动设计的基本流程，证明了这种方法的可行性与实用性。关键词： 机床； 固定结合面； 设计方法； 接触； 拓扑
中图分类号： TH113； TG502文献标识码： A文章编号： 10044523（2014）04048107
引言
数控机床是由多个部件通过固定结合部、动结合部组合而成的复杂结构，机床整机的刚度是由每个部件的刚度（包括结合面的刚度）通过复杂的串、并联关系集合而成的。据统计，机床中结合部的刚度约占机床总刚度的60%～80%，阻尼则占90%以上[1，2]，其对机床动态性能的影响是显而易见的。一般情况下，设计者只通过增大结构件截面尺寸来增大结构件本身刚度，而对于结合部刚度的主动设计仅仅通过增大结合面的名义接触面积，造成结构件刚度冗余，而整个部件（构件结合部）的刚度并不能有效设计，还增加了系统的质量，导致系统固有频率下降。研究发现，结合面名义面积上有相当大的区域处于相对较低的接触应力状态，甚至还有一部分区域并没有实际接触[2]。实际接触状态的压强分布规律受到工件厚度、螺栓头直径、预紧力等因素的影响[3，4]。
关于螺钉连接结合面理想面压的分布情况，常见的假设等效模型有：空心圆柱体模型及空心圆锥体模型、空心球体模型[5]。关于这些模型的扩展也有很多人在研究[5，6]，这些模型能计算出螺钉预紧力矩对结合面传力作用的理想影响区域。还可以借助有限元计算螺钉周围理想面压的分布情况[7，8]，进而建立螺钉结合面的等效刚度模型，用于结构的动态性能分析。也有一些学者将结合面连接特性等效为一种材料模型[9，10]，进行结合面参数的识别，或进行组合结构动态特性分析。S Bograd详细讨论了3种机械结合部的有限元建模方法：借助Jenkins摩擦模型建立的节点节点接触单元，薄层接触单元和零厚度单元[11]。然而，对于固定结合面的主动设计还鲜有人研究。
相比机床结构大件的优化设计，通过对结合面的优化设计能更有效提高系统的刚度，同时减小结构件的刚度冗余量。基于这一思想，在深入研究机床结构件与机床动态特性的定量化关系上，本文作者提出将固定结合部接触刚度模型等效为一种有限单元材料模型，从而进行固定结合部接触区域拓扑的优化设计—采用删除准则，即消除无效的接触区域，或者消除对总体固有频率贡献较小的接触区域，来主动地设计结合面的实际接触区域的拓扑形状。
1结合面的等效材料模型1.1接触刚度分布的等效材料模型机床结合面问题实际是两粗糙表面间在外载荷作用下的接触问题。这一接触问题又可以分为微观接触问题和宏观接触问题，结合面在微观尺度下的精度（主要是指粗糙度尺度下）决定了结合面的接触机理，如阻尼的产生、单位面积的接触刚度等；而在宏观尺度下结合面的加工精度、被连接件法兰的厚度及装配工艺则决定了结合面的实际接触状态（面压分布与面压数值）。图1（a）所示为一个螺钉联结结构，由组件1和组件2构成，包含柔性连接结合面。柔性结合面接触特性沿着螺钉径向呈梯度分布[3，4]，其接触刚度可以等效为一种材料模型，其特性也沿着螺钉孔径向呈梯度分布，如图1（b）所示。为了简化计算模型，可以划为呈环状分布的3个区域：高压力区、中压力区及低压力区。其中，高压力区接触刚度很高，但接触面积极小；中压力区接触刚度较高，区域分布较大，对总的接触刚度影响最大；低压力区对总的接触刚度影响较小，不能起到有效的连接作用。对于螺钉组合情况，可以看作是单个螺钉作用的结合面面压分布的叠加[4]，如图1（c）所示。
图1螺钉连接结合部及其面压分布
Fig.1Fixed joint with screw connection and it's pressuredistribution
第4期王磊，等： 一种机床固定结合面形状的拓扑设计方法振 动 工 程 学 报第27卷由于在机床动态特性的求解过程中，满足小变形弹性假设条件，因此，螺钉结合面的材料等效模型可以看作仅仅包含等效弹性模量与等效剪切模量，其数学模型的定性表述如下：4结论与讨论
论文提出了一种机床固定接合部接触区域拓扑形状的动力学主动设计方法。将固定结合面接触区域的接触刚度模型等效为一种有限元模型，给出了其材料等效模型——弹性模量及剪切模量的计算方法，并以此模型确定结合面接触单元的刚度矩阵。然后采用渐进优化法进行固定结合部接触区域拓扑形状的优化设计-即采用删除准则，消除对总体固有频率贡献较小的接触区域，以主动的设计结合面的实际接触区域的拓扑形状。
论文采用以上方法，利用两个案例进行说明，其中一个工程案例以45°斜床身车床的车头箱与床身连接的螺钉固定结合面的动态特性主动设计为例，进行了接触区域拓扑形状的动力学主动设计，相比机床结构大件的优化设计，通过对结合面的优化设计能更有效的提高系统的动态性能，同时减小结构件刚度冗余量。
另外，接合面实际接触面积还影响到系统的阻尼特性。本文以固有频率为目标函数来优化结合面的形状，尚未涉及阻尼问题，有其应用的局限性。后续的理论和实验工作需将该方法扩展到以系统的频率响应函数为目标函数，并对阻尼的主动设计进行深入研究。
参考文献：
[1]Gould F H H，Mikic B B. Areas of contact pressure distribution in bolted joints[J]. Journal of Engineering for Industry，1972，94（3）：864—870. [2]Nabil M. Determination of joint stiffness in bolted connections[J]. Trans. ASME J.Eng.Ind.， 1976，98（3）：858—861.
[3]Mantelli M B H， Milanez F H， Pereira E N.Statistical model for pressure distribution of bolted joints[J].Journal of Thermophysics and Heat Transfer， 2010，24（2）：432—437.
[4]王磊， 杜瑞， 金涛，等. 螺钉连接固定结合面匹配设计研究[J].西安交通大学学报，2013，47（7）：62—67.
WANG Lei， DU Rui， JIN Tao， et al. Matching design for bolted joints based by effective contact radius maximization[J]. Journal of Xi′an Jiaotong Universety， 2013，47（7）：62—67.
[5]John H Bickford. Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints：NONGASKETED JOINT[M].CRC Press， 2007：95—96.
[6]NASSAR S A，ABBOUD A.An improved stiffness model for bolted joints [J].ASME J.Mech.Des.，2009，131（12）：1—10.
[7]Kim J，Yoon J，Kang B. Finite element analysis and modeling of structure with bolted joints[J]. Applied Mathematical Modelling， 2007，31（5）：895—911.
[8]Lehnhoff T F， Bradley B A. Effects of bolt threads on the stiffness of bolted joints[J]. Journal of Pressure Vessel Technology， 2001， 123（2）：161—165.
[9]Ahmadian H，Ebrahimi M，Mottershead J E， et al. Identification of boltedjoint interface models[A]. Proceedings of ISMA[C].2002，4：1 741—1 747.
[10]Tian H， Li B， Liu H， et al. A new method of virtual material hypothesisbased dynamic modeling on fixed joint interface in machine tools[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2011，51 （3）：239—249.
[11] Bograd S， Reuss P， Schmidt A， et al. Modeling the dynamics of mechanical joints[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2011， 25（8）： 2 801—2 826.
[12]Johnson K L. Contact Mechanics[M].Cambridge： Cambridge University Press， 1985：94—98.
[13] 荣见华，郑健龙，徐飞鸿.结构动力修改及优化设计[M].北京：人民交通出版社，2002：249—277.
Rong J H， Zheng J L，Xu F H. Structural Dynamics Modification and Optimization Design[M].Beijing： China Communications Press， 2002：249—277.
A design method of fixed joint contact area topologybased
equivalent model for machine tools
WANG Lei1，2， LIU Haitao1，2， JIN Tao1，2， DU Rui1，2， ZHAO Wanhua1，2
（1. School of Mechanical Engineering， Xi′an Jiaotong University， Xi′an 710049， China；
2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering， Xi′an Jiaotong University， Xi′an 710049， China）
Abstract： The dynamic characteristics of joint interfaces affect the dynamic behaviors of a whole machine tool structure notably. This paper proposes a dynamical active design method for fixed joint contact area topology of the machine tools. First， the contact stiffness model of the fixed joint with actual contact region is equivalent to a finite element model， the calculation method for material model： elastic modulus and shear modulus is presented， and the contact element stiffness matrix based on the constitutive model for fixed joint is established. Then， Evolutionary Structural Optimization method is used to carry out the optimization design for the fixed joint contact area topology. That is， the delete rule is used to eliminate the contact area which has little contribution for overall natural frequency. Finally， through the engineering case of the fixed joint for bed and head， realizing the active design of the actual contact area topology for fixed joint， and this method is proved feasible and practical. Key words： machine tool； fixed joint； design method； contact； topology作者简介： 王磊（1982—），男，博士研究生。电话：（029）83395009；Email：wlei292@163.com；
通讯作者： 赵万华（1965—），男，博士，教授，博士生导师。Email：whzhao@mail.xjtu.edu.cn
中图分类号： TH113； TG502文献标识码： A文章编号： 10044523（2014）04048107
引言
数控机床是由多个部件通过固定结合部、动结合部组合而成的复杂结构，机床整机的刚度是由每个部件的刚度（包括结合面的刚度）通过复杂的串、并联关系集合而成的。据统计，机床中结合部的刚度约占机床总刚度的60%～80%，阻尼则占90%以上[1，2]，其对机床动态性能的影响是显而易见的。一般情况下，设计者只通过增大结构件截面尺寸来增大结构件本身刚度，而对于结合部刚度的主动设计仅仅通过增大结合面的名义接触面积，造成结构件刚度冗余，而整个部件（构件结合部）的刚度并不能有效设计，还增加了系统的质量，导致系统固有频率下降。研究发现，结合面名义面积上有相当大的区域处于相对较低的接触应力状态，甚至还有一部分区域并没有实际接触[2]。实际接触状态的压强分布规律受到工件厚度、螺栓头直径、预紧力等因素的影响[3，4]。
关于螺钉连接结合面理想面压的分布情况，常见的假设等效模型有：空心圆柱体模型及空心圆锥体模型、空心球体模型[5]。关于这些模型的扩展也有很多人在研究[5，6]，这些模型能计算出螺钉预紧力矩对结合面传力作用的理想影响区域。还可以借助有限元计算螺钉周围理想面压的分布情况[7，8]，进而建立螺钉结合面的等效刚度模型，用于结构的动态性能分析。也有一些学者将结合面连接特性等效为一种材料模型[9，10]，进行结合面参数的识别，或进行组合结构动态特性分析。S Bograd详细讨论了3种机械结合部的有限元建模方法：借助Jenkins摩擦模型建立的节点节点接触单元，薄层接触单元和零厚度单元[11]。然而，对于固定结合面的主动设计还鲜有人研究。
相比机床结构大件的优化设计，通过对结合面的优化设计能更有效提高系统的刚度，同时减小结构件的刚度冗余量。基于这一思想，在深入研究机床结构件与机床动态特性的定量化关系上，本文作者提出将固定结合部接触刚度模型等效为一种有限单元材料模型，从而进行固定结合部接触区域拓扑的优化设计—采用删除准则，即消除无效的接触区域，或者消除对总体固有频率贡献较小的接触区域，来主动地设计结合面的实际接触区域的拓扑形状。
1结合面的等效材料模型1.1接触刚度分布的等效材料模型机床结合面问题实际是两粗糙表面间在外载荷作用下的接触问题。这一接触问题又可以分为微观接触问题和宏观接触问题，结合面在微观尺度下的精度（主要是指粗糙度尺度下）决定了结合面的接触机理，如阻尼的产生、单位面积的接触刚度等；而在宏观尺度下结合面的加工精度、被连接件法兰的厚度及装配工艺则决定了结合面的实际接触状态（面压分布与面压数值）。图1（a）所示为一个螺钉联结结构，由组件1和组件2构成，包含柔性连接结合面。柔性结合面接触特性沿着螺钉径向呈梯度分布[3，4]，其接触刚度可以等效为一种材料模型，其特性也沿着螺钉孔径向呈梯度分布，如图1（b）所示。为了简化计算模型，可以划为呈环状分布的3个区域：高压力区、中压力区及低压力区。其中，高压力区接触刚度很高，但接触面积极小；中压力区接触刚度较高，区域分布较大，对总的接触刚度影响最大；低压力区对总的接触刚度影响较小，不能起到有效的连接作用。对于螺钉组合情况，可以看作是单个螺钉作用的结合面面压分布的叠加[4]，如图1（c）所示。
图1螺钉连接结合部及其面压分布
Fig.1Fixed joint with screw connection and it's pressuredistribution
第4期王磊，等： 一种机床固定结合面形状的拓扑设计方法振 动 工 程 学 报第27卷由于在机床动态特性的求解过程中，满足小变形弹性假设条件，因此，螺钉结合面的材料等效模型可以看作仅仅包含等效弹性模量与等效剪切模量，其数学模型的定性表述如下：4结论与讨论
论文提出了一种机床固定接合部接触区域拓扑形状的动力学主动设计方法。将固定结合面接触区域的接触刚度模型等效为一种有限元模型，给出了其材料等效模型——弹性模量及剪切模量的计算方法，并以此模型确定结合面接触单元的刚度矩阵。然后采用渐进优化法进行固定结合部接触区域拓扑形状的优化设计-即采用删除准则，消除对总体固有频率贡献较小的接触区域，以主动的设计结合面的实际接触区域的拓扑形状。
论文采用以上方法，利用两个案例进行说明，其中一个工程案例以45°斜床身车床的车头箱与床身连接的螺钉固定结合面的动态特性主动设计为例，进行了接触区域拓扑形状的动力学主动设计，相比机床结构大件的优化设计，通过对结合面的优化设计能更有效的提高系统的动态性能，同时减小结构件刚度冗余量。
另外，接合面实际接触面积还影响到系统的阻尼特性。本文以固有频率为目标函数来优化结合面的形状，尚未涉及阻尼问题，有其应用的局限性。后续的理论和实验工作需将该方法扩展到以系统的频率响应函数为目标函数，并对阻尼的主动设计进行深入研究。
参考文献：
[1]Gould F H H，Mikic B B. Areas of contact pressure distribution in bolted joints[J]. Journal of Engineering for Industry，1972，94（3）：864—870. [2]Nabil M. Determination of joint stiffness in bolted connections[J]. Trans. ASME J.Eng.Ind.， 1976，98（3）：858—861.
[3]Mantelli M B H， Milanez F H， Pereira E N.Statistical model for pressure distribution of bolted joints[J].Journal of Thermophysics and Heat Transfer， 2010，24（2）：432—437.
[4]王磊， 杜瑞， 金涛，等. 螺钉连接固定结合面匹配设计研究[J].西安交通大学学报，2013，47（7）：62—67.
WANG Lei， DU Rui， JIN Tao， et al. Matching design for bolted joints based by effective contact radius maximization[J]. Journal of Xi′an Jiaotong Universety， 2013，47（7）：62—67.
[5]John H Bickford. Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints：NONGASKETED JOINT[M].CRC Press， 2007：95—96.
[6]NASSAR S A，ABBOUD A.An improved stiffness model for bolted joints [J].ASME J.Mech.Des.，2009，131（12）：1—10.
[7]Kim J，Yoon J，Kang B. Finite element analysis and modeling of structure with bolted joints[J]. Applied Mathematical Modelling， 2007，31（5）：895—911.
[8]Lehnhoff T F， Bradley B A. Effects of bolt threads on the stiffness of bolted joints[J]. Journal of Pressure Vessel Technology， 2001， 123（2）：161—165.
[9]Ahmadian H，Ebrahimi M，Mottershead J E， et al. Identification of boltedjoint interface models[A]. Proceedings of ISMA[C].2002，4：1 741—1 747.
[10]Tian H， Li B， Liu H， et al. A new method of virtual material hypothesisbased dynamic modeling on fixed joint interface in machine tools[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2011，51 （3）：239—249.
[11] Bograd S， Reuss P， Schmidt A， et al. Modeling the dynamics of mechanical joints[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2011， 25（8）： 2 801—2 826.
[12]Johnson K L. Contact Mechanics[M].Cambridge： Cambridge University Press， 1985：94—98.
[13] 荣见华，郑健龙，徐飞鸿.结构动力修改及优化设计[M].北京：人民交通出版社，2002：249—277.
Rong J H， Zheng J L，Xu F H. Structural Dynamics Modification and Optimization Design[M].Beijing： China Communications Press， 2002：249—277.
A design method of fixed joint contact area topologybased
equivalent model for machine tools
WANG Lei1，2， LIU Haitao1，2， JIN Tao1，2， DU Rui1，2， ZHAO Wanhua1，2
（1. School of Mechanical Engineering， Xi′an Jiaotong University， Xi′an 710049， China；
2. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering， Xi′an Jiaotong University， Xi′an 710049， China）
Abstract： The dynamic characteristics of joint interfaces affect the dynamic behaviors of a whole machine tool structure notably. This paper proposes a dynamical active design method for fixed joint contact area topology of the machine tools. First， the contact stiffness model of the fixed joint with actual contact region is equivalent to a finite element model， the calculation method for material model： elastic modulus and shear modulus is presented， and the contact element stiffness matrix based on the constitutive model for fixed joint is established. Then， Evolutionary Structural Optimization method is used to carry out the optimization design for the fixed joint contact area topology. That is， the delete rule is used to eliminate the contact area which has little contribution for overall natural frequency. Finally， through the engineering case of the fixed joint for bed and head， realizing the active design of the actual contact area topology for fixed joint， and this method is proved feasible and practical. Key words： machine tool； fixed joint； design method； contact； topology作者简介： 王磊（1982—），男，博士研究生。电话：（029）83395009；Email：wlei292@163.com；
通讯作者： 赵万华（1965—），男，博士，教授，博士生导师。Email：whzhao@mail.xjtu.edu.cn