三角函数和平面向量是高中数学中的重要内容,也是高考中的重点.近几年的高考经常把这两块内容有机地整合成一个整体,互相交叉、互相联系.笔者经过仔细的观察与研究发现三角形常常充当这两块知识“接头点”.
　　
　　一、求三角形的内角或其三角函数值
　　
　　例1(2006年四川省卷)已知A、B、C是三角形三内角,
　　m=(-1,3),
　　n=(cosA,sinA),且m·
　　n=1.
　　(1)求角A;(2)若
　　1+sin2Bcos2B-sin2B=-3,求tanC.
　　分析:(1)由
　　m·n=1
　　可得3sinA-cosA=1,即sin(A-π6)=12.
　　而-π6　　A-π6=π6
　　,则A=π3.
　　(2)由题设整理可得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0,而
　　cosB≠0,则tan2B-tanB-2=0,
　　所以tanB=2或tanB=-1.
　　当tanB=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,所以tanB=2.
　　所以tanC=-tan（A+B）=8+5311
　　例2 (2006年辽宁卷) △ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,设向量
　　p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥
　　q,
　　则角C的大小为()
　　(A) π6(B) π3
　　(C) π2 (D) 2π3
　　分析:
　　p∥q(a+c)(c-a)=b(b-a)b2+a2-c2=ab
　　,利用余弦定理可得2cosC=1,即cosC=
　　12C=π3,故选择答案(B).
　　评注:上面两题以求解三角形的内角或其三角函数值为载体,考查了余弦定理、三角变换和两向量平行的坐标形式等内容,同时着重考查了同学们的运算能力.
　　
　　二、求三角形的内角取值范围或相关最值
　　
　　例3 (2007年湖北省卷) 已知△ABC的面积为3,且满足
　　0≤AB·AC≤6,设AB和AC的夹角为θ.
　　(1)求θ的取值范围；
　　(2)求函数f(θ)=2sin2(π4+θ)-3
　　cos2θ的最大值与最小值.
　　分析:(1)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a,b,c,则由
　　12bcsinθ=3,0≤bccosθ≤6,
　　可得tanθ≥1,所以θ∈［π4,π2］.
　　(2)f(θ)=2sin2(π4+θ)-
　　3cos2θ
　　=［1-cos(π2+2θ)］-3cos2θ
　　=(1+sin2θ)-3cos2θ
　　=sin2θ-3cos2θ+1
　　=2sin(2θ-π3)+1.
　　因为θ∈［π4,π2］,2θ-
　　π3
　　∈［π6,23π］,所以2≤2sin(2θ-
　　π3)+1≤3.
　　即当θ=5π12时,f(θ)max=3；当θ=π4时,
　　f(θ)min=2.
　　例4 (2005年南京市模拟卷)已知△ABC的面积为S,且
　　AB·BC=1,12　　,求tan∠ABC的取值范围.
　　分析:由题意可知,
　　|AB|·|
　　BC
　　|,cos∠ABC=-1,而
　　S=
　　12|AB|·
　　|BC|sin∠ABC.
　　上述两式相除可得S=-12tan∠ABC,又
　　12　　评注:以上两题以求解三角形内角的取值范围或相关最值为载体,主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识.
　　
　　三、求三角形的边长或其相关问题
　　
　　例5 (2005年全国卷) △ABC中,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知
　　a、b、c成等比数列,且cosB=
　　34,
　　BA·BC=32,
　　求a+c的值.
　　分析:由BA·BC=
　　32可得
　　cacosB=32.而cosB=34,故ca=2.
　　又a、b、c成等比数列,故b2=ca=2=c2+a2-2accosB,即c2+a2=5
　　故可得a+c=3.
　　评注:本小题以求解三角形边长的相关问题为载体,主要考查平面向量数量积的计算、余弦定理、等比数列等基本知识.
　　
　　四、求三角形的面积或判断其形状
　　
　　例6 (2003年广东省卷)已知△OAB中,
　　OA=a,OB= b,且
　　|a+b|=3,|a-b|=2,求△OAB面积的最大值.
　　分析:因为|a+b|=3,|a-b|=2则
　　a2+2a·b+b2=9,且
　　a2-2a·b+b2=4
　　,
　　解得a·b=54,
　　a2+b2=132.又|a|
　　|b|≤12
　　(a2+b2)=134,
　　cos∠AOB=
　　a·b
　　|a||b|
　　≥513,
　　当且仅当
　　|a|=|b|时等式成立.
　　于是S△OAB=12|a||b|sin∠AOB
　　≤
　　12×134
　　×1-cos2∠AOB≤138
　　1-(513)2
　　=32.
　　所以当且仅当|a|=|b|=
　　132时等式成立,△OAB面积的最大值为
　　32
　　.
　　例7 设△ABC中,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、1,已知向量
　　u=(acosB,asinB),v=(bcosA,-bsinA).
　　(1)若
　　u⊥v
　　,指出△ABC的形状,并说明理由;(2)求|u+v|.
　　分析:(1)由题意可得
　　u·v=ab(cosAcosB-sinAsinB)=0,
　　即cos(A+B)=0,而0　　故A+B=π2,即△ABC为直角三角形.
　　(2)因为|u|=a,|v|=b,则
　　cos
　　=
　　u·v|u||v|
　　=abcos(A+B)ab
　　=-cosC.
　　所以|u+v|2=
　　|u|2+
　　|v|2+2u·v
　　=a2+b2-2ab·cosC=c2=1.即|u+v|=1.
　　评注:上面两题以求解三角形的面积或判断其形状为载体,主要考查平面向量数量积的计算、向量垂直以及余弦定理等基本知识.
　　对此类平面向量、三角函数和三角形“三强联合”的考题,首先,同学们应把握关于这三方面的基本知识,并且能够识破这些知识的交汇点,这样才能立于不败之地.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文