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摘 要：数列是高中数学一个非常重要的知识点，也是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位。历年高考中一般情况下都会有一道填空题加一道解答题考查数列，分值占整张试卷的10%左右。但在实际的教学中，学生普遍反映学习数列比较困难，很难把握解答数列题目所需要的方法和技巧，所以在考试中失分比较严重。实际上，数列题的解答万变不离其宗，抓住数列的基本定义、运用数学基本量去解决是最直接有效的方法。
关键词：数列 基本量 思考策略
数列是高中数学一个非常重要的知识点，也是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位。历年高考中一般情况下都会有一道填空题加一道解答题考查数列，分值占整个试卷的10%左右。但在实际的教学中，学生普遍反映学习数列比较困难，很难把握解答数列题目所需要的方法和技巧，而且计算量较大，很容易出错。有的学生甚至直接放弃，影响了高考数学成绩。在历年高考中学生在数列题上的失分都比较严重，但实际上，数列题的解答万变不离其宗，只要抓住等差数列或等比数列的定义，根据等差数列中的量a1、d、n、 an、Sn或等比数列的量a1 、q、 n、an、Sn ，将题目中已知的条件进行转换，转化为数列基本量a1、d （ q）之间的关系，通过具体分析计算 a1、d （ q）的量，就可以使问题得到解决。
一、树立目标意识， 运用基本量之间的关系，解答数列题
例1（2009江苏卷）设{an}是公比为q的等比数列， q>1，令bn=an+1（n=1，2，…） 。若数列{bn}有连续四项在集合 {-53，-23，19，37，82}中，则6q = 。
【思考】本题明确{an}是公比为q的等比数列，且q>1，给出了{an}和{bn}的关系 ，bn=an+1（n=1，2，…），而且数列 {bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，我们就可以利用 已知条件，回归到等比数列的通项公式和定义，求出{an}的连续四项，进而求出公比q，问题就非常简单了。
解：题目已知条件bn=an+1（n=1，2，…），且{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中。那么，可以得出an=bn-1（n=1，2，…）的四项在{-54，-24，18，36，81}中。
因为{an}是公比为q的等比数列，且q>1，所以 {an}的连续四项为-24，36，-54，81，即可求出公比q。
则6q=-9。
例2（2004江苏卷） 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn。若首项a1= ，公差d=1，求满足S=（Sk）2 的正整数k 。
【思考】题目中已经给出等差数列的基本量首项a1=，公差d=1，就可以将等差数列的求和公式Sn= na1+d与 S =（Sk）2 联系起来，从而建立等量关系求解。
解：由已知条件，当a1=，d=1时，
Sn= na1+d = n+ = n2+n，
因为S=（Sk）2 ，所以得k4+k2= （k2+k）2，
即 k3（k-1）=0，
又k≠0，所以k=4。
找到等差数列或等比数列的基本量是解答数列题经常使用的方法。题目涉及有关数列的基本量，就应该从等差数列或等比数列的定义出发，用基本量去表示数列的其他项，再结合已知条件，即可找到问题的解答方法。
二、通过解方程组（不等式）求出数列基本量或确定基本量的约束条件进行解答
例3（2008江苏卷） 设a1，a2，…，an是各项不为零的等差数列（n≥4 ），且公差d≠0。若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求：
（1）当n=4时，求的数值；（2）求n的所有可能值。
【思考】题目已知{an}是各项不为零的等差数列（n≥4 ），且公差d≠0，可以根据已知条件建立基本量的约束关系来进行求解。
解：（1）当n=4时， a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0 。
若删去a2，则a32=a1·a4，即（a1+2d）2=a1·（a1+3d），化简得a1+4d=0，得 =-4；
若删去a3，则a22=a1·a4，即 （a1+d）2=a1·（a1+3d），化简得a1-d=0，得 =1；
综上得=-4或=1。
（2）当n=5时， a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项，推出 d=0。若删去a3，则a1·a5=a2·a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）·（a1+3d），化简得3d2=0，因为d≠0所以a3不能删去，所以n≠5；
当n>5 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 a1，a2，a3，…，an-2，an-1，an中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有an-3·an=an-1·an-2，这与d≠0矛盾；同样若删去an-1，也有a1·a4=a2·a3，这与d≠0矛盾；若删去a3，…，an-2中的任意一个，则必有a1·an=a2·an-1，这与d≠0矛盾（或者说，当 n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）。
综上所述， n=4。
例4（2010浙江卷） 设a1和d为实数，首项为a1，公差为 d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5 S6+15=0，求：
（1）若S5=5，求S6及a1 ； （2）d的取值范围。
【思考】根据已知条件，建立方程组，简化各种量之间的关系。求解（1）、（2）的关键是用方程的眼光看待2a12+9da1+10d2+1=0（同样可以求出 范围）。 解：（1）由题意知S6=-3 ，所以a6=S6-S5=-8，
所以5a1+10d=5a1+5d=-8解得a1=7，所以S6=-3，a1=7。
（2）因为S5S6 +15=0，
所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，
即 2a12 +9da1+10d2+1=0可以看成关于a1的一元二次不等式，所对应的方程一定有解（a1存在）。
所以△=（9d）2-4×2×（10d2+1）≥0 ，
故d的取值范围为d≥2或d≤-2。
这类题目首先要根据题目中的已知条件，通过建立方程组（不等式）求解出等差数列或等比数列的基本量或建立基本量的约束条件，再根据实际的情况和要求去进行解答即可。
三、从整体结构把握数列基本量之间的关系，寻找解题方法
例5（2006江苏卷） 设数列{an}、 {bn}、 {cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，… ） 。
求证{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ）。
【思考】本题明确给出数列{an}、 {bn}、 {cn}之间的关系，要证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ） ，可以分步化解，回归到等差数列的基本定义，通过建立数列{an}、 {bn}、 {cn}的等量关系来进行解答。
证明：
必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，则
bn+1-bn=（an+1-an+3） -（an-an+2）=（an+1-an）-（an+3-an+2）
=d1-d1=0，
所以bn≤bn+1（n=1，2，3，… ） 成立，
又cn+1-cn=（an+1-an）+2（an+2-an+1）+3（an+3-an+2）
=d1+2d1+3d1 =6d1（常数）（n=1，2，3，… ），
所以数列{cn}为等差数列。
充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ） ，
因为cn=an+2an+1+3an+2， ①
所以cn+2 =an+2 +2an+3+3an+4， ②
①-②得
cn-cn+2 =（an-an+2）+2（an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2，
因为cn-cn+2 =（cn-cn+1）+（cn+1-cn+2）=-2d2，
所以bn+2bn+1+3bn+2=-2d2， ③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2， ④
④-③得
（bn+1-bn）+2（bn+2-bn+1）+3（bn+3-bn+2）=0， ⑤
因为bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0，bn+3-bn+2 ≥0，
所以由⑤得bn+1-bn≥0（n=1，2，3，… ），
由此不妨设bn=d3（n=1，2，3，… ），则an-an+2=d3（常数），
由此 cn=an+2an+1+3an+2 =4an+2an+1-3d3， ⑥
从而有 cn+1 =4an+1+2an+2 -3d3=4an+1+2an-5d3 ， ⑦
⑦-⑥得： cn+1-cn=2（an+1-an） -2d3，
因此an+1-an=（cn+1-cn）+d3=d2+d3（常数）（n=1，2，3，… ） ，
所以数列{an}是等差数列。
综上所述：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ）。
例6（2010年江苏卷） 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列 是公差为d的等差数列，求数列{an}的通项公式（用n，d表示）。
【思考】根据已知条件，将重新看作等差数列，根据等差数列的定义和基本特点，结合题目中的条件建立等量关系，就可以快速解答。
解：因为是等差数列，所以2=+， 又2a2=a1+a3，所以2=+，
平方得3a1+a2=2，即 （-）2=0，所以，a2=3a1，
所以d=-=2-=，即=d ，
所以=+（n-1）d=nd，Sn= n2d2，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-（n-1）2d2=（2n-1）d2，
且对n=1成立，所以an=（2n-1）d2。
整体思想是数列中比较常用的方法，在某一类题目中，不需要直接求出等差数列或等比数列中的基本量，只需将基本量之间的关系式整体代入复杂的结构中，把数列的复合基本量作为一个整体，列出方程或方程组，从而简化结构；或者通过变形把具有复杂结构的新数列转化为等差数列或等比数列，再根据等差数列或等比数列的定义和基本特点进行解答，这种思想在高考中经常出现。
四、结束语
数列一直是高考考查的重点内容，而且有关数列的试题经常是综合性试题，一方面考查等差数列、等比数列的基础知识和基本技能，另一方面还和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起，并加以导数和向量等新增内容，使数列题有了相当大的扩展面。数列题中会涉及函数与方程、转化与归纳、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，但所有这些，要尽量回归本质，牢牢掌握数列的定义、性质和公式。在解答时，充分利用数列的基本量和定义，通过建立等量关系或者方程组（不等式）整体代入等方法，灵活快速地完成数列题目的解答。
参考文献
高志军.浅谈运用基本量解数列题的思考策略[J].课外阅读，2011（10）.
关键词：数列 基本量 思考策略
数列是高中数学一个非常重要的知识点，也是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位。历年高考中一般情况下都会有一道填空题加一道解答题考查数列，分值占整个试卷的10%左右。但在实际的教学中，学生普遍反映学习数列比较困难，很难把握解答数列题目所需要的方法和技巧，而且计算量较大，很容易出错。有的学生甚至直接放弃，影响了高考数学成绩。在历年高考中学生在数列题上的失分都比较严重，但实际上，数列题的解答万变不离其宗，只要抓住等差数列或等比数列的定义，根据等差数列中的量a1、d、n、 an、Sn或等比数列的量a1 、q、 n、an、Sn ，将题目中已知的条件进行转换，转化为数列基本量a1、d （ q）之间的关系，通过具体分析计算 a1、d （ q）的量，就可以使问题得到解决。
一、树立目标意识， 运用基本量之间的关系，解答数列题
例1（2009江苏卷）设{an}是公比为q的等比数列， q>1，令bn=an+1（n=1，2，…） 。若数列{bn}有连续四项在集合 {-53，-23，19，37，82}中，则6q = 。
【思考】本题明确{an}是公比为q的等比数列，且q>1，给出了{an}和{bn}的关系 ，bn=an+1（n=1，2，…），而且数列 {bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，我们就可以利用 已知条件，回归到等比数列的通项公式和定义，求出{an}的连续四项，进而求出公比q，问题就非常简单了。
解：题目已知条件bn=an+1（n=1，2，…），且{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中。那么，可以得出an=bn-1（n=1，2，…）的四项在{-54，-24，18，36，81}中。
因为{an}是公比为q的等比数列，且q>1，所以 {an}的连续四项为-24，36，-54，81，即可求出公比q。
则6q=-9。
例2（2004江苏卷） 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn。若首项a1= ，公差d=1，求满足S=（Sk）2 的正整数k 。
【思考】题目中已经给出等差数列的基本量首项a1=，公差d=1，就可以将等差数列的求和公式Sn= na1+d与 S =（Sk）2 联系起来，从而建立等量关系求解。
解：由已知条件，当a1=，d=1时，
Sn= na1+d = n+ = n2+n，
因为S=（Sk）2 ，所以得k4+k2= （k2+k）2，
即 k3（k-1）=0，
又k≠0，所以k=4。
找到等差数列或等比数列的基本量是解答数列题经常使用的方法。题目涉及有关数列的基本量，就应该从等差数列或等比数列的定义出发，用基本量去表示数列的其他项，再结合已知条件，即可找到问题的解答方法。
二、通过解方程组（不等式）求出数列基本量或确定基本量的约束条件进行解答
例3（2008江苏卷） 设a1，a2，…，an是各项不为零的等差数列（n≥4 ），且公差d≠0。若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求：
（1）当n=4时，求的数值；（2）求n的所有可能值。
【思考】题目已知{an}是各项不为零的等差数列（n≥4 ），且公差d≠0，可以根据已知条件建立基本量的约束关系来进行求解。
解：（1）当n=4时， a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0 。
若删去a2，则a32=a1·a4，即（a1+2d）2=a1·（a1+3d），化简得a1+4d=0，得 =-4；
若删去a3，则a22=a1·a4，即 （a1+d）2=a1·（a1+3d），化简得a1-d=0，得 =1；
综上得=-4或=1。
（2）当n=5时， a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项，推出 d=0。若删去a3，则a1·a5=a2·a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）·（a1+3d），化简得3d2=0，因为d≠0所以a3不能删去，所以n≠5；
当n>5 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 a1，a2，a3，…，an-2，an-1，an中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有an-3·an=an-1·an-2，这与d≠0矛盾；同样若删去an-1，也有a1·a4=a2·a3，这与d≠0矛盾；若删去a3，…，an-2中的任意一个，则必有a1·an=a2·an-1，这与d≠0矛盾（或者说，当 n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）。
综上所述， n=4。
例4（2010浙江卷） 设a1和d为实数，首项为a1，公差为 d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5 S6+15=0，求：
（1）若S5=5，求S6及a1 ； （2）d的取值范围。
【思考】根据已知条件，建立方程组，简化各种量之间的关系。求解（1）、（2）的关键是用方程的眼光看待2a12+9da1+10d2+1=0（同样可以求出 范围）。 解：（1）由题意知S6=-3 ，所以a6=S6-S5=-8，
所以5a1+10d=5a1+5d=-8解得a1=7，所以S6=-3，a1=7。
（2）因为S5S6 +15=0，
所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，
即 2a12 +9da1+10d2+1=0可以看成关于a1的一元二次不等式，所对应的方程一定有解（a1存在）。
所以△=（9d）2-4×2×（10d2+1）≥0 ，
故d的取值范围为d≥2或d≤-2。
这类题目首先要根据题目中的已知条件，通过建立方程组（不等式）求解出等差数列或等比数列的基本量或建立基本量的约束条件，再根据实际的情况和要求去进行解答即可。
三、从整体结构把握数列基本量之间的关系，寻找解题方法
例5（2006江苏卷） 设数列{an}、 {bn}、 {cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，… ） 。
求证{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ）。
【思考】本题明确给出数列{an}、 {bn}、 {cn}之间的关系，要证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ） ，可以分步化解，回归到等差数列的基本定义，通过建立数列{an}、 {bn}、 {cn}的等量关系来进行解答。
证明：
必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，则
bn+1-bn=（an+1-an+3） -（an-an+2）=（an+1-an）-（an+3-an+2）
=d1-d1=0，
所以bn≤bn+1（n=1，2，3，… ） 成立，
又cn+1-cn=（an+1-an）+2（an+2-an+1）+3（an+3-an+2）
=d1+2d1+3d1 =6d1（常数）（n=1，2，3，… ），
所以数列{cn}为等差数列。
充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ） ，
因为cn=an+2an+1+3an+2， ①
所以cn+2 =an+2 +2an+3+3an+4， ②
①-②得
cn-cn+2 =（an-an+2）+2（an+1-an+3）+3（an+2-an+4）=bn+2bn+1+3bn+2，
因为cn-cn+2 =（cn-cn+1）+（cn+1-cn+2）=-2d2，
所以bn+2bn+1+3bn+2=-2d2， ③
从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2， ④
④-③得
（bn+1-bn）+2（bn+2-bn+1）+3（bn+3-bn+2）=0， ⑤
因为bn+1-bn≥0，bn+2-bn+1≥0，bn+3-bn+2 ≥0，
所以由⑤得bn+1-bn≥0（n=1，2，3，… ），
由此不妨设bn=d3（n=1，2，3，… ），则an-an+2=d3（常数），
由此 cn=an+2an+1+3an+2 =4an+2an+1-3d3， ⑥
从而有 cn+1 =4an+1+2an+2 -3d3=4an+1+2an-5d3 ， ⑦
⑦-⑥得： cn+1-cn=2（an+1-an） -2d3，
因此an+1-an=（cn+1-cn）+d3=d2+d3（常数）（n=1，2，3，… ） ，
所以数列{an}是等差数列。
综上所述：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，… ）。
例6（2010年江苏卷） 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列 是公差为d的等差数列，求数列{an}的通项公式（用n，d表示）。
【思考】根据已知条件，将重新看作等差数列，根据等差数列的定义和基本特点，结合题目中的条件建立等量关系，就可以快速解答。
解：因为是等差数列，所以2=+， 又2a2=a1+a3，所以2=+，
平方得3a1+a2=2，即 （-）2=0，所以，a2=3a1，
所以d=-=2-=，即=d ，
所以=+（n-1）d=nd，Sn= n2d2，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-（n-1）2d2=（2n-1）d2，
且对n=1成立，所以an=（2n-1）d2。
整体思想是数列中比较常用的方法，在某一类题目中，不需要直接求出等差数列或等比数列中的基本量，只需将基本量之间的关系式整体代入复杂的结构中，把数列的复合基本量作为一个整体，列出方程或方程组，从而简化结构；或者通过变形把具有复杂结构的新数列转化为等差数列或等比数列，再根据等差数列或等比数列的定义和基本特点进行解答，这种思想在高考中经常出现。
四、结束语
数列一直是高考考查的重点内容，而且有关数列的试题经常是综合性试题，一方面考查等差数列、等比数列的基础知识和基本技能，另一方面还和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起，并加以导数和向量等新增内容，使数列题有了相当大的扩展面。数列题中会涉及函数与方程、转化与归纳、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，但所有这些，要尽量回归本质，牢牢掌握数列的定义、性质和公式。在解答时，充分利用数列的基本量和定义，通过建立等量关系或者方程组（不等式）整体代入等方法，灵活快速地完成数列题目的解答。
参考文献
高志军.浅谈运用基本量解数列题的思考策略[J].课外阅读，2011（10）.