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高考数学试卷中有相当多的试题是课本上的例题、习题的直接引用,或是稍作变形改编而成,其目的在于引导师生重视基础,切实抓好基础知识和基本技能的训练.近年来,高考中涉及概率的创新题型不断出现,要求学生从问题入手,把握数学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料.试题对知识的考查倾向于理解和应用,特别是知识的综合和灵活运用,这样的问题没有现成的模式或方法可以套用,这就需要在教育教学过程中培养和提高学生的创造精神和创新能力.
一、近年湖南省高考数学试卷中的概率问题的特点
第一,概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编.通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,加工为立意高、情境新、设问巧,并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.如有关奥运方面的试题比比皆是,也有人体健康方面的题目.这样的试题体现了高考数学命题的新理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神.
第二,概率统计试题主要考查基本概念和基本公式.对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查.
第三,考试要求.考试要求主要有以下几点:了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;了解等可能事件概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率;了解互斥事件与相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率;会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;了解随机抽样,了解分层抽样的意义,会对简单实际问题进行抽样;会用样本频率分布估计总体分布;会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体方差.
二、近年湖南省高考数学中概率问题回顾
(2004年湖南·文理)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品,而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1/4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1/12,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2/9.(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;(Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
点评:求事件积的概率的关键是注意事件的独立性,求事件和的概率的关键是注意事件的互斥性,而利用对立事件的概率公式P(A)=1-P(A),则是简化概率运算的重要手段.
(2006年湖南)某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班,其中甲班40人,乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.
解析:该校数学建模兴趣班的平均成绩为85(分),本题目要求学生会求样本平均数,用样本平均数去估计总体平均数(又称总体期望值).
(2008年湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的概率都是1/2,且面试是否合格互不影响.求:(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;(Ⅱ)没有人签约的概率.
分析:概率应用题应首先弄清关键词语,碰到“至少”、“至多”之类的词语可考虑用对立事件来处理.本题主要考查概率知识,要记住相互独立事件同时发生时概率的求法,会应用对立事件间的概率关系.随机事件的概率问题,以古典概率为基础,以互斥事件的和与相互独立事件的积为主,以独立重复试验作策应,活跃在文科及理科试卷之中.它既是一类独立的概率问题,又是概率与统计问题的认知与求解的基础.其中,对于比较复杂的概率问题,化整为零,无可争议地成为解题的第一战略战术.一般说,在求复杂事件的概率时通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成互斥事件的和;二是先求出此事件的对立事件(适用于求用“至少”表达的事件的概率)的概率,这是典型的集合思想方法.把一个复杂事件分解成几个互斥的事件时,要做到不重复、不遗漏.要特别注意:(1)互斥事件A、B不能同时发生,但可能同时不发生.(2)对立事件必有一个发生一个不发生.(3)相互独立事件A、B各自是否发生的概率互不影响,既可以同时发生,也可能同时不发生,或一个发生另一个不发生.
(2009年湖南文、理)(文科)一个总体分为A、B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为1/12,则总体中的个体数为120.
三、教学对策
1.教学内容应突出数学思想
对概率统计的教学,要突破传统从概念到定理,从定理到证明的教学模式.不要过分拘泥于定理的严格证明,因为概率统计的许多复杂理论,用数学分析、高等代数的基础是难以完全搞清楚的,对学生提出过高的理论要求是不切实际的,也是不必要的.在概率论部分的教学中,对离散型随机变量的内容,因理论上比较简单,要尽可能讲得严谨些,使学生对概率的基本概念和公式有一个明晰的理解和掌握.对连续型随机变量,因其在理论上相当复杂,应适当降低严谨性的要求,代之以从直觉上把握.
2.课堂教学应注重数学模型的建立
自然界有许多现象表面上看起来差异很大,然而其实质是一样的,数学模型就是这类事物共同本质的抽象.在概率统计课中有许多数学模型,如n重贝努里模型,正态分布模型.对这类模型,不应简单地给出它的结果,而应注重模型的建立,模型的应用范围,以及如何把实际问题转化为有关的数学模型.
3.借助多媒体教学提高学生的学习兴趣
教师要成为学生好的引导者,要注意精心设计问题,清除学生的思维障碍或给予适当的方向性指导,即教师应依据教学目的和要求,结合学生的认知发展水平,精心设计问题情景,创设积极和谐的教学氛围,感染学生的情绪,利用情绪对认知的促进作用,激发学生的兴趣,使学生形成主动的、迫切的解决问题的心向.其中利用多媒体进行教学便是一种很好的教学手段,在概率统计这门学科中有很多数学实验是可以进行动画模拟的,教师在教学这些内容时,如果用多媒体进行演示会起到事半功倍的作用.
湖南省高考题多数把概率与统计作为应用大题出现,符合高考命题支持课程改革的要求,而且试题取材于课本,学习时应扎扎实实抓好基本模型的运用,学会将实际问题转化为概率模型或统计模型求解.
参考文献
[1]周友良,文教鹤.概率与统计专题学习[J].中学生数理化(高三版),2006(21).
[2]张晋平.概率与统计的复习要求和策略[J].考试(高中版),2003(01).
[3]王连笑.2006年高考概率与统计试题评析[J].中国考试(高考版),2006(11).
[4]都述利.概率与统计高考命题趋势与指导[J].中学生数理化(教与学),2009(07).
(责任编辑易志毅)
一、近年湖南省高考数学试卷中的概率问题的特点
第一,概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编.通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,加工为立意高、情境新、设问巧,并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.如有关奥运方面的试题比比皆是,也有人体健康方面的题目.这样的试题体现了高考数学命题的新理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神.
第二,概率统计试题主要考查基本概念和基本公式.对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查.
第三,考试要求.考试要求主要有以下几点:了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;了解等可能事件概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率;了解互斥事件与相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率;会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;了解随机抽样,了解分层抽样的意义,会对简单实际问题进行抽样;会用样本频率分布估计总体分布;会用样本平均数估计总体期望值,会用样本的方差估计总体方差.
二、近年湖南省高考数学中概率问题回顾
(2004年湖南·文理)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品,而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1/4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1/12,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2/9.(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;(Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
点评:求事件积的概率的关键是注意事件的独立性,求事件和的概率的关键是注意事件的互斥性,而利用对立事件的概率公式P(A)=1-P(A),则是简化概率运算的重要手段.
(2006年湖南)某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班,其中甲班40人,乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是90分,乙班的平均成绩是81分,则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.
解析:该校数学建模兴趣班的平均成绩为85(分),本题目要求学生会求样本平均数,用样本平均数去估计总体平均数(又称总体期望值).
(2008年湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的概率都是1/2,且面试是否合格互不影响.求:(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;(Ⅱ)没有人签约的概率.
分析:概率应用题应首先弄清关键词语,碰到“至少”、“至多”之类的词语可考虑用对立事件来处理.本题主要考查概率知识,要记住相互独立事件同时发生时概率的求法,会应用对立事件间的概率关系.随机事件的概率问题,以古典概率为基础,以互斥事件的和与相互独立事件的积为主,以独立重复试验作策应,活跃在文科及理科试卷之中.它既是一类独立的概率问题,又是概率与统计问题的认知与求解的基础.其中,对于比较复杂的概率问题,化整为零,无可争议地成为解题的第一战略战术.一般说,在求复杂事件的概率时通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成互斥事件的和;二是先求出此事件的对立事件(适用于求用“至少”表达的事件的概率)的概率,这是典型的集合思想方法.把一个复杂事件分解成几个互斥的事件时,要做到不重复、不遗漏.要特别注意:(1)互斥事件A、B不能同时发生,但可能同时不发生.(2)对立事件必有一个发生一个不发生.(3)相互独立事件A、B各自是否发生的概率互不影响,既可以同时发生,也可能同时不发生,或一个发生另一个不发生.
(2009年湖南文、理)(文科)一个总体分为A、B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为1/12,则总体中的个体数为120.
三、教学对策
1.教学内容应突出数学思想
对概率统计的教学,要突破传统从概念到定理,从定理到证明的教学模式.不要过分拘泥于定理的严格证明,因为概率统计的许多复杂理论,用数学分析、高等代数的基础是难以完全搞清楚的,对学生提出过高的理论要求是不切实际的,也是不必要的.在概率论部分的教学中,对离散型随机变量的内容,因理论上比较简单,要尽可能讲得严谨些,使学生对概率的基本概念和公式有一个明晰的理解和掌握.对连续型随机变量,因其在理论上相当复杂,应适当降低严谨性的要求,代之以从直觉上把握.
2.课堂教学应注重数学模型的建立
自然界有许多现象表面上看起来差异很大,然而其实质是一样的,数学模型就是这类事物共同本质的抽象.在概率统计课中有许多数学模型,如n重贝努里模型,正态分布模型.对这类模型,不应简单地给出它的结果,而应注重模型的建立,模型的应用范围,以及如何把实际问题转化为有关的数学模型.
3.借助多媒体教学提高学生的学习兴趣
教师要成为学生好的引导者,要注意精心设计问题,清除学生的思维障碍或给予适当的方向性指导,即教师应依据教学目的和要求,结合学生的认知发展水平,精心设计问题情景,创设积极和谐的教学氛围,感染学生的情绪,利用情绪对认知的促进作用,激发学生的兴趣,使学生形成主动的、迫切的解决问题的心向.其中利用多媒体进行教学便是一种很好的教学手段,在概率统计这门学科中有很多数学实验是可以进行动画模拟的,教师在教学这些内容时,如果用多媒体进行演示会起到事半功倍的作用.
湖南省高考题多数把概率与统计作为应用大题出现,符合高考命题支持课程改革的要求,而且试题取材于课本,学习时应扎扎实实抓好基本模型的运用,学会将实际问题转化为概率模型或统计模型求解.
参考文献
[1]周友良,文教鹤.概率与统计专题学习[J].中学生数理化(高三版),2006(21).
[2]张晋平.概率与统计的复习要求和策略[J].考试(高中版),2003(01).
[3]王连笑.2006年高考概率与统计试题评析[J].中国考试(高考版),2006(11).
[4]都述利.概率与统计高考命题趋势与指导[J].中学生数理化(教与学),2009(07).
(责任编辑易志毅)