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近年来中考数学的考查理念发生了很大的变化,命题主要以“生活数学”,“活动思考”为主线.各地中考试卷中频频出现以图象、图形和图表为已知条件的新型题,要求考生依据图象等给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题,主要考查考生“识图”和“用图”的能力以及处理信息的能力.本文将从一道中考数学图象信息问题的解决,来剖析图象信息问题的解题方法与技巧.
例 (2011年·泰州)小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距2400m的邮局办事,小明出发的同时,他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回.设他们出发后经过tmin时,小明与家之间的距离为s1m,小明爸爸与家之间的距离为s2m,图中折线OABD、线段EF分别是表示s1、s2与t 之间函数关系的图象.
(1) 求s2与t 之间的函数关系式;
(2) 小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?
第(1)问:
分析 线段EF表示小明爸爸与家之间的距离s2(m)与出发后经过的时间t(min)之间的函数关系图象,因为是线段,所以s2是t的一次函数,从而可设出s2关于t的函数关系式,用待定系数法求解.
解 观察图象知:E(0,2400);F点表示的实际意义是爸爸从邮局出发一段时间后到家了.
∵ 由题意 V爸爸=96(m/min),邮局到家的距离是2400m.
∴t爸爸==25(min),
∴F(25,0)
设S=kt+b
∵ 2400=b0=25k+b ∴ k=-96b=2400
∴ s=-96t+2400
第(2)问:
分析 线段OA表示小明从家里出发,10分钟到邮局.由此,可求出小明骑自行车的速度,
V==240(m/min).由图象我们还可以得到的信息有:
线段AB表示小明在邮局休息了2分钟;
线段BD表示小明从邮局沿原路以原速返回;
D点表示的实际意义是小明从邮局出发一段时间后到家了,并且小明从邮局出发沿原路以原速返回花的时间t==10(min),则D(22,0);
线段BD与线段EF的交点C表示的实际意义就是小明在从邮局返回的途中追上爸爸.
解 方法(一):运用函数知识求解.
用待定系数法求出线段BD所表示的函数关系式
设:s=mt+n(12≤t≤22)
∵ 2400=12m+n0=22m+n ∴ m=-240n=5280
∴ s=-240t+5280(12≤t≤22)
∵ s=-240t+5280(12≤t≤22)
s=-96t+2400(0≤t≤25)
由s=s求出t=20,进而求出s、s.
也可以将s、s两个函数关系式联列成方程组求解,这是数形结合思想的应用.
方法(二):运用几何方法.
过C点作CH⊥OF于F,利用相似三角形对应边成比例求CH、HF.其中,CH即为二人与家的距离,OF-HF即为出发后所经过的时间.(略)
方法(三):运用代数方法.
我们可以将本题看成行程问题直接列方程(组)解.
由题意:小明返回的路程=爸爸所走的总路程
设:小明返回后经过xmin追上爸爸,这时爸爸用时(x+12)min
则有:240x=96(x+12),解得 x=20
学生若能从图象中读取有效信息,并转化为方程求解,说明能理解,未尝不可.
另外,本题还可以进行适当拓展延伸:
(1) 小明出发后经过多长时间,在返回的途中和爸爸相距144m?
分析 如图,小明出发后,线段BD表示在返回的途中,在BD上取一点M,在线段EF是取一点N,并且MN∥纵轴,此时线段MN的长即表示小明在返回途中和爸爸之间的距离是144m.可以借助线段BD和线段EF所在直线的函数关系式,设出M、N两点的坐标,进而立程求解.
解 ∵ MN∥纵轴,
∴ Mx=Nx,
设Mx=Nx=m,
则My=-240m+5280
Ny=-96m+2400
MN=My-Ny
=-240m+5280-(-96m+2400)
=144
解得:m=19
(2) 此时,小明和爸爸谁与家距离较近?
分析 如图,很明显,M点的纵坐标大于N点的纵坐标,由于他们的实际意义就表示他们离家的距离,所以,小明的爸爸离家较近.
跟踪训练
甲、乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶.甲车先到达B地,停留1小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1) 两车行驶3小时后,两车相距____千米;
(2) 请在图中的( )内填上正确的值,并直接写出甲车从A到B的行驶速度;
(3) 求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(4) 求出甲车返回时的行驶速度及A、B两地之间的距离.
参考答案
(1) 120千米;(2) 横轴( )内应填:4;纵轴( )内应填:60;
甲车从A到B的行驶速度为100千米/时;
(3) y=-150x+120(4≤x≤4.4)
(4) 甲车返回时行驶速度为90千米/时,A、B两地的距离为300千米.
从上面几个问题的解决我们可以发现,图象信息问题的已知条件有的全部用图象呈现,有的部分用图象呈现,并且大多隐含在图象中,隐蔽性强,因此解题时除需认真读题,把握题目所给的文字条件外,还需认真“审”图,包括:读懂两条坐标轴的意义、图象的变化趋势,找出有效信息点,以及各个数据之间的联系,做到图象语言与文字语言的适时互译,信息同步化,从而准确把握题目的已知条件和所要解决的问题,为后面的解题铺路.
可以这么说,图象信息问题的解题关键就是“识图”和“用图”.一般步骤是:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系;(3)选择适当方法,通过建模(函数、方程(组)、数形结合等)解决问题.
总之,近几年的中考比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等的考查.随着中考命题改革的不断深化,这个趋势与新课标提出的增强学生的四基能力更趋于一致,也更能彰显时代发展的要求.
例 (2011年·泰州)小明从家骑自行车出发,沿一条直路到相距2400m的邮局办事,小明出发的同时,他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家,小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回.设他们出发后经过tmin时,小明与家之间的距离为s1m,小明爸爸与家之间的距离为s2m,图中折线OABD、线段EF分别是表示s1、s2与t 之间函数关系的图象.
(1) 求s2与t 之间的函数关系式;
(2) 小明从家出发,经过多长时间在返回途中追上爸爸?这时他们距离家还有多远?
第(1)问:
分析 线段EF表示小明爸爸与家之间的距离s2(m)与出发后经过的时间t(min)之间的函数关系图象,因为是线段,所以s2是t的一次函数,从而可设出s2关于t的函数关系式,用待定系数法求解.
解 观察图象知:E(0,2400);F点表示的实际意义是爸爸从邮局出发一段时间后到家了.
∵ 由题意 V爸爸=96(m/min),邮局到家的距离是2400m.
∴t爸爸==25(min),
∴F(25,0)
设S=kt+b
∵ 2400=b0=25k+b ∴ k=-96b=2400
∴ s=-96t+2400
第(2)问:
分析 线段OA表示小明从家里出发,10分钟到邮局.由此,可求出小明骑自行车的速度,
V==240(m/min).由图象我们还可以得到的信息有:
线段AB表示小明在邮局休息了2分钟;
线段BD表示小明从邮局沿原路以原速返回;
D点表示的实际意义是小明从邮局出发一段时间后到家了,并且小明从邮局出发沿原路以原速返回花的时间t==10(min),则D(22,0);
线段BD与线段EF的交点C表示的实际意义就是小明在从邮局返回的途中追上爸爸.
解 方法(一):运用函数知识求解.
用待定系数法求出线段BD所表示的函数关系式
设:s=mt+n(12≤t≤22)
∵ 2400=12m+n0=22m+n ∴ m=-240n=5280
∴ s=-240t+5280(12≤t≤22)
∵ s=-240t+5280(12≤t≤22)
s=-96t+2400(0≤t≤25)
由s=s求出t=20,进而求出s、s.
也可以将s、s两个函数关系式联列成方程组求解,这是数形结合思想的应用.
方法(二):运用几何方法.
过C点作CH⊥OF于F,利用相似三角形对应边成比例求CH、HF.其中,CH即为二人与家的距离,OF-HF即为出发后所经过的时间.(略)
方法(三):运用代数方法.
我们可以将本题看成行程问题直接列方程(组)解.
由题意:小明返回的路程=爸爸所走的总路程
设:小明返回后经过xmin追上爸爸,这时爸爸用时(x+12)min
则有:240x=96(x+12),解得 x=20
学生若能从图象中读取有效信息,并转化为方程求解,说明能理解,未尝不可.
另外,本题还可以进行适当拓展延伸:
(1) 小明出发后经过多长时间,在返回的途中和爸爸相距144m?
分析 如图,小明出发后,线段BD表示在返回的途中,在BD上取一点M,在线段EF是取一点N,并且MN∥纵轴,此时线段MN的长即表示小明在返回途中和爸爸之间的距离是144m.可以借助线段BD和线段EF所在直线的函数关系式,设出M、N两点的坐标,进而立程求解.
解 ∵ MN∥纵轴,
∴ Mx=Nx,
设Mx=Nx=m,
则My=-240m+5280
Ny=-96m+2400
MN=My-Ny
=-240m+5280-(-96m+2400)
=144
解得:m=19
(2) 此时,小明和爸爸谁与家距离较近?
分析 如图,很明显,M点的纵坐标大于N点的纵坐标,由于他们的实际意义就表示他们离家的距离,所以,小明的爸爸离家较近.
跟踪训练
甲、乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶.甲车先到达B地,停留1小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时60千米.下图是两车之间的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数图象.
(1) 两车行驶3小时后,两车相距____千米;
(2) 请在图中的( )内填上正确的值,并直接写出甲车从A到B的行驶速度;
(3) 求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(4) 求出甲车返回时的行驶速度及A、B两地之间的距离.
参考答案
(1) 120千米;(2) 横轴( )内应填:4;纵轴( )内应填:60;
甲车从A到B的行驶速度为100千米/时;
(3) y=-150x+120(4≤x≤4.4)
(4) 甲车返回时行驶速度为90千米/时,A、B两地的距离为300千米.
从上面几个问题的解决我们可以发现,图象信息问题的已知条件有的全部用图象呈现,有的部分用图象呈现,并且大多隐含在图象中,隐蔽性强,因此解题时除需认真读题,把握题目所给的文字条件外,还需认真“审”图,包括:读懂两条坐标轴的意义、图象的变化趋势,找出有效信息点,以及各个数据之间的联系,做到图象语言与文字语言的适时互译,信息同步化,从而准确把握题目的已知条件和所要解决的问题,为后面的解题铺路.
可以这么说,图象信息问题的解题关键就是“识图”和“用图”.一般步骤是:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系;(3)选择适当方法,通过建模(函数、方程(组)、数形结合等)解决问题.
总之,近几年的中考比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等的考查.随着中考命题改革的不断深化,这个趋势与新课标提出的增强学生的四基能力更趋于一致,也更能彰显时代发展的要求.