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对称是图形的一个重要特征，线段、角、等腰三角形、等腰梯形等都是轴对称图形.轴对称图形有许多重要的性质，巧用这些性质，可以妙解许多问题.现举几例说明.
例1 （2005年遵义市中考试题）已知：如图1，AB=AC，DB=DC，F是AD延长线上的一点，试说明BF=CF.
解：连结BC.由AB=AC，得点A在线段BC的垂直平分线上；由BD=DC，得点D在线段BC的垂直平分线上.因为两点确定一条直线，所以直线AD就是线段BC的垂直平分线，从而点F在线段BC的垂直平分线上，所以BF=CF.
评注：本题也可以用全等三角形的方法来说理，但必须两次说明三角形全等，而用线段的垂直平分线的性质来说明，简化了说明过程.线段的垂直平分线有两个结论，解题时须注意：只有一条直线上的两个点都在某线段的垂直平分线上，才能说这条直线是该线段的垂直平分线；一个点在线段垂直平分线上，这个点到线段的两个端点的距离才相等.同学们要注意这些关键过程的表述，谨防出错.线段垂直平分线的两个结论常联合“作战”，要注意它们的区别，以免混淆.
例2如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G.试说明BF=CG.
解：连结BE、CE.因为DE⊥BC，DB=DC，所以BE
=CE.
又因为AE平分∠BAC，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，所以EF=EG.
在Rt△BEF与Rt△CEG中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△BEF≌Rt△CEG（HL），所以BF=CG.
评注：在使用角平分线的对称性质说理时，两个垂直条件不可少，否则结论不一定成立.
例3 （2005年南京市中考试题）如图3所示，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的距离MA为a m，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为bm，梯子的倾斜角为45°，这间房间的宽AB是多少？
解：连结MN，MB.因为∠ACM=75°，∠BCN=45°，所以∠MCN=60°.又CM
=CN，故△CMN为等边三角形，MC=MN.又BN⊥BC，∠BCN=45°，所以BC=BN，所以BM是四边形BCMN的对称轴，BM垂直平分CN，∠ABM=∠MBN=45°.又MA⊥AB，所以AB=AM=a（m）.
答：这间房间的宽AB为a m.
评注：有些同学作ME⊥CN于E，连结BE后，就认为BE⊥CN，这是不对的.此时你必须说明M、E、B在一条直线上.本题也可以作MD⊥BN于D，再说明四边形ABDM为矩形.
例4（2005年南宁市中考试题）如图4所示是一块梯形空地，其中AD∥BC，AB=CD.请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB
≌△DPC，且S△APD=S△BPC，并说明你的理由.
分析:由等腰梯形的轴对称性和△APB≌△DPC知点P在AD、BC的中垂线上.设P到AD的距离为xcm，利用S△APD=S△BPC列方程求解.
解：如图4所示，点P在AD、BC的垂直平分线上，此时PA=PD，PB=PC.所以△APB≌△DPC.设P到AD的距离为xm，则P到BC的距离为（12-x）m，所以，S△APD=1/2×10x=5x，S△BPC=1/2×20（12-x）=10（12-x），当S△APD=S△BPC时，有5x=10·（12-x），解得x=8.所以当P点在AD、BC的中垂线上，且与AD的距离为8m（在梯形内）时，△APB≌△DPC，且S△APD=S△BPC.
评注：这是一个运用对称知识解决实际问题的典型例子.在确定P点的位置时，我们先找到一条直线（AD、BC的中垂线），再在直线上确定这一点.这种“逐步逼近”的方法在数学解题中经常用到.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
例1 （2005年遵义市中考试题）已知：如图1，AB=AC，DB=DC，F是AD延长线上的一点，试说明BF=CF.
解：连结BC.由AB=AC，得点A在线段BC的垂直平分线上；由BD=DC，得点D在线段BC的垂直平分线上.因为两点确定一条直线，所以直线AD就是线段BC的垂直平分线，从而点F在线段BC的垂直平分线上，所以BF=CF.
评注：本题也可以用全等三角形的方法来说理，但必须两次说明三角形全等，而用线段的垂直平分线的性质来说明，简化了说明过程.线段的垂直平分线有两个结论，解题时须注意：只有一条直线上的两个点都在某线段的垂直平分线上，才能说这条直线是该线段的垂直平分线；一个点在线段垂直平分线上，这个点到线段的两个端点的距离才相等.同学们要注意这些关键过程的表述，谨防出错.线段垂直平分线的两个结论常联合“作战”，要注意它们的区别，以免混淆.
例2如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G.试说明BF=CG.
解：连结BE、CE.因为DE⊥BC，DB=DC，所以BE
=CE.
又因为AE平分∠BAC，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，所以EF=EG.
在Rt△BEF与Rt△CEG中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△BEF≌Rt△CEG（HL），所以BF=CG.
评注：在使用角平分线的对称性质说理时，两个垂直条件不可少，否则结论不一定成立.
例3 （2005年南京市中考试题）如图3所示，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的距离MA为a m，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为bm，梯子的倾斜角为45°，这间房间的宽AB是多少？
解：连结MN，MB.因为∠ACM=75°，∠BCN=45°，所以∠MCN=60°.又CM
=CN，故△CMN为等边三角形，MC=MN.又BN⊥BC，∠BCN=45°，所以BC=BN，所以BM是四边形BCMN的对称轴，BM垂直平分CN，∠ABM=∠MBN=45°.又MA⊥AB，所以AB=AM=a（m）.
答：这间房间的宽AB为a m.
评注：有些同学作ME⊥CN于E，连结BE后，就认为BE⊥CN，这是不对的.此时你必须说明M、E、B在一条直线上.本题也可以作MD⊥BN于D，再说明四边形ABDM为矩形.
例4（2005年南宁市中考试题）如图4所示是一块梯形空地，其中AD∥BC，AB=CD.请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB
≌△DPC，且S△APD=S△BPC，并说明你的理由.
分析:由等腰梯形的轴对称性和△APB≌△DPC知点P在AD、BC的中垂线上.设P到AD的距离为xcm，利用S△APD=S△BPC列方程求解.
解：如图4所示，点P在AD、BC的垂直平分线上，此时PA=PD，PB=PC.所以△APB≌△DPC.设P到AD的距离为xm，则P到BC的距离为（12-x）m，所以，S△APD=1/2×10x=5x，S△BPC=1/2×20（12-x）=10（12-x），当S△APD=S△BPC时，有5x=10·（12-x），解得x=8.所以当P点在AD、BC的中垂线上，且与AD的距离为8m（在梯形内）时，△APB≌△DPC，且S△APD=S△BPC.
评注：这是一个运用对称知识解决实际问题的典型例子.在确定P点的位置时，我们先找到一条直线（AD、BC的中垂线），再在直线上确定这一点.这种“逐步逼近”的方法在数学解题中经常用到.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文