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【摘要】概率的定义是对随机现象建立数学建模的工具，但很多教材把古典概型、几何概型和概率的定义混淆。混淆的结果是分不清主次，忽略掉了概率定义的重要性，导致概念不清。本文从概率的定义出发，对几个随机现象建立概率模型，突出概率的定义在建立概率模型中的作用。
【关键词】概率模型；样本空间；建模
一、引言
概率的定义首先是一个对随机现象进行建模的工具。概率模型就是对于一个随机现象的数描述。产生随机现象的过程，我们叫做随机试验，所以，概率的定义里面首先有一个随机试验。
随机现象的不确定性是指试验结果的不确定，所以建模的第一步是找到所有可能出现的结果。这些结果的集合，叫样本空间。样本空间的子集叫做事件。根据我们的需要，对样本空间的一些子集，定义一个域。对于一些简单的随机现象，可以考虑样本空间的所有子集组成的事件组。
对于每一个事件，都有一个实数和它对应，这个从事件到实数的映射，叫做概率。这个实数是反应事件发生的可能性大小的。
概率是定义在集合上的函数，必须满足三条公理：非负性、归一性和可加性。概率的三条公理，蕴含了概率的其他性质。
二、样本空间的建立
概率模型分为两部分：样本空间和概率律。建立概率模型的第一步，是明确样本空间和事件族。例如，对于这样一个试验：投掷一枚硬币，如果出现正面，停止，如果出现反面，再投掷一次。这个实验中，有三个结果：第一次正面，第一次反面第二次正面，第一次反面第二次反面。这三个结果构成了样本空间： {正面，（反面，正面），（反面，反面）}
这里需要注意，在如果连续两次投掷硬币，只能看做一次试验而不能看做两次试验。两次投硬币的样本空间为： {（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}
样本空间的建立经常用一个树状图来表示，更加直观。例如，上面两个试验的样本空间可以用如下的树状图表示：
三、建立概率模型
概率是定义在集合上的函数，必须满足三条公理：非负性、归一性和可加性。例如在第一个例子中，如果硬币是两面均匀的，两次投掷是独立的，自然可以得到：P（正面）=，P（反面，正面）= ，P（反面，反面）= 。事件组看做是样本空间的所有子集，事件的概率等于包含其中的实验结果概率之和。这样的定义显然符合概率的三条公理。
在第二个例子中，如果每个结果的概率相同，根据归一性和可加性，每一个结果的概率都是 。事件的概率是事件中的结果数乘以 。这个概率模型就是一个古典概型了。
有的概率问题中没有给出明确的试验，可以根据已知条件建立概率模型。例如，若A发生的概率为0.6，A与B都发生的概率为0.1，A与B都不发生的概率为0.15，求A与B至少有一个发生的概率。这个问题中只是给出了两个事件的概率，于是我们建立这样一个样本空间： 。根据已知条件，由A发生的概率为0.6，得： ；类似的，可以得到： ， ，结合归一化公式 ，解得
， ， ，
于是A与B至少有一个发生的概率为
四、总结
概率的定义是建立概率模型的基础。概率模型分为两部分：样本空间和事件组、概率律。概率必须满足三个公理。在教学的过程中，必须紧紧把握概率的定义，对具体的试验建立概率模型。
参考文献：
[1]概率导论（第二版）[美]Dimitri P.Bertsekas John N.Tsitsiklis 郑国忠 童兴伟 译.人民邮电出版社.
[2]概率论与数理统计（第四版）盛骤 谢式千 潘承毅 高等教育出版社
[3]概率论与数理统计 梁之舜 邓集贤 等编著 高等教育出版社
【关键词】概率模型；样本空间；建模
一、引言
概率的定义首先是一个对随机现象进行建模的工具。概率模型就是对于一个随机现象的数描述。产生随机现象的过程，我们叫做随机试验，所以，概率的定义里面首先有一个随机试验。
随机现象的不确定性是指试验结果的不确定，所以建模的第一步是找到所有可能出现的结果。这些结果的集合，叫样本空间。样本空间的子集叫做事件。根据我们的需要，对样本空间的一些子集，定义一个域。对于一些简单的随机现象，可以考虑样本空间的所有子集组成的事件组。
对于每一个事件，都有一个实数和它对应，这个从事件到实数的映射，叫做概率。这个实数是反应事件发生的可能性大小的。
概率是定义在集合上的函数，必须满足三条公理：非负性、归一性和可加性。概率的三条公理，蕴含了概率的其他性质。
二、样本空间的建立
概率模型分为两部分：样本空间和概率律。建立概率模型的第一步，是明确样本空间和事件族。例如，对于这样一个试验：投掷一枚硬币，如果出现正面，停止，如果出现反面，再投掷一次。这个实验中，有三个结果：第一次正面，第一次反面第二次正面，第一次反面第二次反面。这三个结果构成了样本空间： {正面，（反面，正面），（反面，反面）}
这里需要注意，在如果连续两次投掷硬币，只能看做一次试验而不能看做两次试验。两次投硬币的样本空间为： {（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}
样本空间的建立经常用一个树状图来表示，更加直观。例如，上面两个试验的样本空间可以用如下的树状图表示：
三、建立概率模型
概率是定义在集合上的函数，必须满足三条公理：非负性、归一性和可加性。例如在第一个例子中，如果硬币是两面均匀的，两次投掷是独立的，自然可以得到：P（正面）=，P（反面，正面）= ，P（反面，反面）= 。事件组看做是样本空间的所有子集，事件的概率等于包含其中的实验结果概率之和。这样的定义显然符合概率的三条公理。
在第二个例子中，如果每个结果的概率相同，根据归一性和可加性，每一个结果的概率都是 。事件的概率是事件中的结果数乘以 。这个概率模型就是一个古典概型了。
有的概率问题中没有给出明确的试验，可以根据已知条件建立概率模型。例如，若A发生的概率为0.6，A与B都发生的概率为0.1，A与B都不发生的概率为0.15，求A与B至少有一个发生的概率。这个问题中只是给出了两个事件的概率，于是我们建立这样一个样本空间： 。根据已知条件，由A发生的概率为0.6，得： ；类似的，可以得到： ， ，结合归一化公式 ，解得
， ， ，
于是A与B至少有一个发生的概率为
四、总结
概率的定义是建立概率模型的基础。概率模型分为两部分：样本空间和事件组、概率律。概率必须满足三个公理。在教学的过程中，必须紧紧把握概率的定义，对具体的试验建立概率模型。
参考文献：
[1]概率导论（第二版）[美]Dimitri P.Bertsekas John N.Tsitsiklis 郑国忠 童兴伟 译.人民邮电出版社.
[2]概率论与数理统计（第四版）盛骤 谢式千 潘承毅 高等教育出版社
[3]概率论与数理统计 梁之舜 邓集贤 等编著 高等教育出版社