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【摘要】VaR（Value at Risk，在险价值） 作为市场风险的度量方法之一，能够有效地度量金融市场的风险。本文在介绍了VaR的概念、特点以及计算方法的基础之上，利用GARCH模型估计、预测股市的VaR值，并对上证指数进行风险度量的实证研究。分析结果表明基于GARCH模型的VaR方法能够较好地反映出股市的风险，适合在上证市场进行风险管理。
【关键词】GARCH模型 上证指数 风险管理 VaR方法
VaR（Value at Risk）是一种评估金融市场风险的方法，能够准确、快速和全面地量化市场风险。自从世界金融危机爆发到现在，国内外的金融市场对金融风险的控制有着越来越高的要求。VaR在国外已经进行了广泛深入的研究以及大量的实证分析，已经被投资者、商业银行、投资银行及市场监管机构广泛使用。目前主流的分析方法是基于ARCH模型族的VaR计算。这主要是由于在描述金融市场资产收益的波动性方面，ARCH族模型有着十分出色的表现，能够更好地模拟出收益率的波动性特征，由此计算出来的VaR值能更真实地反映出金融风险。常用的VaR方法有移动平均法、GARCH 模型和隐含波动率法。本文将采用GARCH模型来计算上证指数收益率的VaR 值。
一、模型概述
（一）GARCH概述
股票指数是一种金融时间序列，其分布一般不是正态分布的。Engle在1982年提出了自回归条件异方差（ARCH）模型来研究股市波动的聚集性和持续性，它的持续方差和处理厚尾的能力，可以较好描述股票价格的波动特征。在拟合时为了达到更好效果，一般要求更大的误差项的滞后阶数，但是这会降低参数估计的效率，而且还会增加待估参数的个数。Bollerslev 在1986年提出了广义自回归条件异方差模型（GARCH）。GARCH模型相对于ARCH模型来说，在提高了准确性的同时减少了待估参数的数量。以后经过不断发展，形成了GARCH 模型族，用以研究股票指数、期货指数的波动性，且可对它们的运行规律进行预测。
（二）VaR概述
VaR（Value at Risk，在险价值）比较规范的定义是，在正常的市场条件给定了置信水平和持有期间，某一投资组合可能发生的最大的损失。公式可以表示为Prob（ΔP ≥VaR） =1?α，其中Prob是一个概率，表示资产价值的损失小于损失上限的可能性，ΔP表示资产组合在持有期Δt内的价值损失数量，VaR即在一定的置信水平下的在险价值，α代表给定的置信水平。
通常VaR的计算方法有三类：
1.历史模拟法（Historieal Simulation Method）。历史模拟法是一种非参数的方法，它利用历史数据，在目前的投资或组合里使用过去的收益率分布，以此对以后的投资组合可能面临的收益分布进行分析和预测。只要给定了置信水平和持有期，便可在不需要假设市场因子的统计分布来计算VAR。
2.蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Simulation，简称MC法）。蒙特卡洛模拟是一种随机模拟方法，它是以概率和统计理论为基础的，其将问题同某一个概率模型进行联系，并通过统计抽样以获得近似解。当抽样模拟的次数不断增加时，再通过对每次的参数估计值求平均以得到稳定的结果。
3.方差——协方差法。该方法是基于收益服从正态分布的假设。在此基础之上用历史数据来计量均值、标准差以及相关系数等主要参数。方差--协方差方法中最常用的是J.P.Morgan提出的RiskMetrics风险度量模型，它的重要假设是正态分布假设和线性假设。但由于实际收益率分布的厚尾现象的存在，会低估金融风险的VaR值。
（三）GARCH - VaR模型方法
本文将利用GARCH模型中的条件方差来估算上证指数的VaR。对不同的风险管理者，持有期和置信度的选择则需要因地制宜。VaR 计算公式为VaR=ω0Zασ。将GARCH模型得出的条件标准差序列带入上式中，计算得出VaR值。
二、实例分析
本文选取上证指数2004.01.02到2013.7.19一共2315个交易日的收盘价作为分析样本，数据来源于大智慧软件。利用Eviews软件生成收益率的对数序列，公式如下：
r=log（price/price（-1））
price为t日的收盘价，price（-1）为t-1日的收盘价，经过计算得到对数收益序列r。对数收益率图如图1：
可初步看出样本序列存在较大的波动，并存在明显的波动集群性，与一般的ARCH模型族的特征吻合。在建立GARCH模型之前，仍需对样本序列的特征进行进一步的研究，以确认是否满足建立GARCH模型的条件。
（一）正态性检验
利用Eviews软件得到对数收益率的直方图以及有关统计数据，如图2。
可以看到，样本期内收益率均值为0.0118%，标准差为1.7165%，偏度为-0.272023，左偏峰度为6.263223，高于正态分布的峰度值3，说明收益率r具有尖峰和后尾特征。JB正态检验统计量为1055.243，收益率r显著异于正态分布。
（二）平稳性检验
由于非平稳序列不利于进一步的统计分析，因此应对该序列进行平稳性，本文采用ADF单位根检验，由Eviews得出检验结果如下：
由上表可以看出，对数收益率序列的ADF值均小于临界值，落在显著性水平的临界值外，数据序列拒绝随机游走的假设，说明是平稳的时间序列数据。国外学者Pagan（1996）和Bollerslev（1994）指出，金融资产的价格一般是非平稳的，经常有一个单位根，而收益率序列通常是平稳的。因此可以采用改对数收益率序列进行建模。
（三）自相关检验 通过对数收益率的自相关检验，可以观察到股票的收益率与其滞后4阶存在自相关。收益率rt的均值方程：rt=c+α*rt-4+εt。
得到均值方程为：
R = 8.64677700665e-05 + 0.0439082214784*R（-4）+ μt
用Ljung-Box Q统计量对均值方程拟合后的残差及残差平方做自相关检验，结果表明残差不存在显著的自相关，而残差平方有显著的自相关。对残差平方做线形图，如图3：
可以看到，残差平方的波动具有明显的时间可变性和集簇性，因此将使用GARCH类模型来进行建模。
结果表明ARCH效应是很显著的，因此接下来将对上证指数的对数收益率序列建立GARCH模型。
（四）GARCH类模型建模
利用Eviews软件，对样本数据进行GARCH建模，可得下表6：
可以看到，条件方差中ARCH和GARCH项都属于高度显著的，因此收益率序列具有明显的波动集簇性。其中ARCH和GARCH项系数之和为0.99，小于1。GARCH（1，1）过程是平稳的。经过ARCH-LM检验，主模型不存在ARCH效应（p值为0.7115，大于显著性水平）。
GARCH（1，1）估计结果如下：
R（五）基于GARCH模型的VaR计算
采用样本内预测，将建立的模型对2009.06.08到2013.07.19 共1000个交易日进行预测。将预测的条件标准差代入VaR公式（VaR=ω0Zασ），得到分别在95%和99%的置信水平下上证指数t日的VaR。再将每日收盘价减去VaR，得出t+1日的风险值，并统计测试样本中低于风险值的失败天数。结果见下表7：
通过上面的分析，可以发现利用GARCH模型计算VaR的方法能较好的拟合上证指数的在险值，我们可以考虑将其作为控制风险的管理手段之一，并参照其建立对应的风险预警体系。
三、结论及展望
本文对上证指数的对数收益率进行了GARCH建模并计算VaR值，结果表明能够较好的反映了市场风险。本文所用的模型是假设收益率分布为正态分布的情形下，从正态分析中可知，数据分布存在尖峰厚尾现象，与正态分布存在一定的差距，可尝试在不同的分布下进行计算，例如t分布或GED分布。另外，还可进一步将GARCH模型与其他模型进行比较，如TGARCH、EGARCH模型等，以便更好的拟合数据，从而预测并控制风险。
还有，VaR 是当前金融机构度量金融风险的标准方法，但是VaR 不满足次可加性，没有考虑尾部风险，缺乏对极端事件的控制。2000年Rockafeller和Uryasev在对VaR修正的基础上正式提出了条件在险价值（CVaR）的概念，它有效弥补了VaR不满足次可加性、没有考虑尾部风险等缺陷。CVaR表示的是损失超过VaR的条件均值，代表了投资失败损益的平均水平，有效反应了当损失超过VaR时平均的潜在损失的大小。因此，还可对CVaR进行进一步的探讨。
参考文献
[1]邹平.金融计量学[M].上海：上海财经大学出版社，2010.
[2]田益祥.金融市场计量经济分析[M].北京：中国市场出版社，2011.
[3]杨翔，刘志伟.基于GARCH-VaR模型的股指期货风险度量实证研究[J].中国证券期货，2011（05）.
[4]朱新玲，黎鹏.基于GARCH-CVaR与GARCH-VaR的人民币汇率风险测度及效果对比研究[J].中南民族大学学报，2011（06）.
（编辑：陈岑）
【关键词】GARCH模型 上证指数 风险管理 VaR方法
VaR（Value at Risk）是一种评估金融市场风险的方法，能够准确、快速和全面地量化市场风险。自从世界金融危机爆发到现在，国内外的金融市场对金融风险的控制有着越来越高的要求。VaR在国外已经进行了广泛深入的研究以及大量的实证分析，已经被投资者、商业银行、投资银行及市场监管机构广泛使用。目前主流的分析方法是基于ARCH模型族的VaR计算。这主要是由于在描述金融市场资产收益的波动性方面，ARCH族模型有着十分出色的表现，能够更好地模拟出收益率的波动性特征，由此计算出来的VaR值能更真实地反映出金融风险。常用的VaR方法有移动平均法、GARCH 模型和隐含波动率法。本文将采用GARCH模型来计算上证指数收益率的VaR 值。
一、模型概述
（一）GARCH概述
股票指数是一种金融时间序列，其分布一般不是正态分布的。Engle在1982年提出了自回归条件异方差（ARCH）模型来研究股市波动的聚集性和持续性，它的持续方差和处理厚尾的能力，可以较好描述股票价格的波动特征。在拟合时为了达到更好效果，一般要求更大的误差项的滞后阶数，但是这会降低参数估计的效率，而且还会增加待估参数的个数。Bollerslev 在1986年提出了广义自回归条件异方差模型（GARCH）。GARCH模型相对于ARCH模型来说，在提高了准确性的同时减少了待估参数的数量。以后经过不断发展，形成了GARCH 模型族，用以研究股票指数、期货指数的波动性，且可对它们的运行规律进行预测。
（二）VaR概述
VaR（Value at Risk，在险价值）比较规范的定义是，在正常的市场条件给定了置信水平和持有期间，某一投资组合可能发生的最大的损失。公式可以表示为Prob（ΔP ≥VaR） =1?α，其中Prob是一个概率，表示资产价值的损失小于损失上限的可能性，ΔP表示资产组合在持有期Δt内的价值损失数量，VaR即在一定的置信水平下的在险价值，α代表给定的置信水平。
通常VaR的计算方法有三类：
1.历史模拟法（Historieal Simulation Method）。历史模拟法是一种非参数的方法，它利用历史数据，在目前的投资或组合里使用过去的收益率分布，以此对以后的投资组合可能面临的收益分布进行分析和预测。只要给定了置信水平和持有期，便可在不需要假设市场因子的统计分布来计算VAR。
2.蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Simulation，简称MC法）。蒙特卡洛模拟是一种随机模拟方法，它是以概率和统计理论为基础的，其将问题同某一个概率模型进行联系，并通过统计抽样以获得近似解。当抽样模拟的次数不断增加时，再通过对每次的参数估计值求平均以得到稳定的结果。
3.方差——协方差法。该方法是基于收益服从正态分布的假设。在此基础之上用历史数据来计量均值、标准差以及相关系数等主要参数。方差--协方差方法中最常用的是J.P.Morgan提出的RiskMetrics风险度量模型，它的重要假设是正态分布假设和线性假设。但由于实际收益率分布的厚尾现象的存在，会低估金融风险的VaR值。
（三）GARCH - VaR模型方法
本文将利用GARCH模型中的条件方差来估算上证指数的VaR。对不同的风险管理者，持有期和置信度的选择则需要因地制宜。VaR 计算公式为VaR=ω0Zασ。将GARCH模型得出的条件标准差序列带入上式中，计算得出VaR值。
二、实例分析
本文选取上证指数2004.01.02到2013.7.19一共2315个交易日的收盘价作为分析样本，数据来源于大智慧软件。利用Eviews软件生成收益率的对数序列，公式如下：
r=log（price/price（-1））
price为t日的收盘价，price（-1）为t-1日的收盘价，经过计算得到对数收益序列r。对数收益率图如图1：
可初步看出样本序列存在较大的波动，并存在明显的波动集群性，与一般的ARCH模型族的特征吻合。在建立GARCH模型之前，仍需对样本序列的特征进行进一步的研究，以确认是否满足建立GARCH模型的条件。
（一）正态性检验
利用Eviews软件得到对数收益率的直方图以及有关统计数据，如图2。
可以看到，样本期内收益率均值为0.0118%，标准差为1.7165%，偏度为-0.272023，左偏峰度为6.263223，高于正态分布的峰度值3，说明收益率r具有尖峰和后尾特征。JB正态检验统计量为1055.243，收益率r显著异于正态分布。
（二）平稳性检验
由于非平稳序列不利于进一步的统计分析，因此应对该序列进行平稳性，本文采用ADF单位根检验，由Eviews得出检验结果如下：
由上表可以看出，对数收益率序列的ADF值均小于临界值，落在显著性水平的临界值外，数据序列拒绝随机游走的假设，说明是平稳的时间序列数据。国外学者Pagan（1996）和Bollerslev（1994）指出，金融资产的价格一般是非平稳的，经常有一个单位根，而收益率序列通常是平稳的。因此可以采用改对数收益率序列进行建模。
（三）自相关检验 通过对数收益率的自相关检验，可以观察到股票的收益率与其滞后4阶存在自相关。收益率rt的均值方程：rt=c+α*rt-4+εt。
得到均值方程为：
R = 8.64677700665e-05 + 0.0439082214784*R（-4）+ μt
用Ljung-Box Q统计量对均值方程拟合后的残差及残差平方做自相关检验，结果表明残差不存在显著的自相关，而残差平方有显著的自相关。对残差平方做线形图，如图3：
可以看到，残差平方的波动具有明显的时间可变性和集簇性，因此将使用GARCH类模型来进行建模。
结果表明ARCH效应是很显著的，因此接下来将对上证指数的对数收益率序列建立GARCH模型。
（四）GARCH类模型建模
利用Eviews软件，对样本数据进行GARCH建模，可得下表6：
可以看到，条件方差中ARCH和GARCH项都属于高度显著的，因此收益率序列具有明显的波动集簇性。其中ARCH和GARCH项系数之和为0.99，小于1。GARCH（1，1）过程是平稳的。经过ARCH-LM检验，主模型不存在ARCH效应（p值为0.7115，大于显著性水平）。
GARCH（1，1）估计结果如下：
R（五）基于GARCH模型的VaR计算
采用样本内预测，将建立的模型对2009.06.08到2013.07.19 共1000个交易日进行预测。将预测的条件标准差代入VaR公式（VaR=ω0Zασ），得到分别在95%和99%的置信水平下上证指数t日的VaR。再将每日收盘价减去VaR，得出t+1日的风险值，并统计测试样本中低于风险值的失败天数。结果见下表7：
通过上面的分析，可以发现利用GARCH模型计算VaR的方法能较好的拟合上证指数的在险值，我们可以考虑将其作为控制风险的管理手段之一，并参照其建立对应的风险预警体系。
三、结论及展望
本文对上证指数的对数收益率进行了GARCH建模并计算VaR值，结果表明能够较好的反映了市场风险。本文所用的模型是假设收益率分布为正态分布的情形下，从正态分析中可知，数据分布存在尖峰厚尾现象，与正态分布存在一定的差距，可尝试在不同的分布下进行计算，例如t分布或GED分布。另外，还可进一步将GARCH模型与其他模型进行比较，如TGARCH、EGARCH模型等，以便更好的拟合数据，从而预测并控制风险。
还有，VaR 是当前金融机构度量金融风险的标准方法，但是VaR 不满足次可加性，没有考虑尾部风险，缺乏对极端事件的控制。2000年Rockafeller和Uryasev在对VaR修正的基础上正式提出了条件在险价值（CVaR）的概念，它有效弥补了VaR不满足次可加性、没有考虑尾部风险等缺陷。CVaR表示的是损失超过VaR的条件均值，代表了投资失败损益的平均水平，有效反应了当损失超过VaR时平均的潜在损失的大小。因此，还可对CVaR进行进一步的探讨。
参考文献
[1]邹平.金融计量学[M].上海：上海财经大学出版社，2010.
[2]田益祥.金融市场计量经济分析[M].北京：中国市场出版社，2011.
[3]杨翔，刘志伟.基于GARCH-VaR模型的股指期货风险度量实证研究[J].中国证券期货，2011（05）.
[4]朱新玲，黎鹏.基于GARCH-CVaR与GARCH-VaR的人民币汇率风险测度及效果对比研究[J].中南民族大学学报，2011（06）.
（编辑：陈岑）