【摘要】Fermat小定理在大学“初等数论”和中小学数学竞赛中占有重要地位，但是学生常常不能理解定理的本质，以至于不能很好地应用其解决实际问题.若能在教学中采用恰当的方式，将对学生理解及应用产生极大的帮助.
　　【关键词】小学数学；教学技能；数学教育
　　【资助项目】丽江师范高等专科学校特色课程《小学数学课堂教学技能训练》建设项目.
　　一、问题的缘起
　　在中小学数学竞赛中经常以当年年份作为幂为题，计算施行特定运算后的余数，比如，今年是2017年，以此出题要求计算82 017除以7的余数.
　　二、问题的思考
　　显然，我们不可能计算出82 017然后再去除以7算出其余数.分析问题的难点在于82 017中的2 017这一次方数太大，若能缩小到能计算的范围，那问题就会得到简化而得以解决.
　　三、问题的解决
　　（一）提出猜想
　　将82 017进行模式化为ax，考虑到任何整数除以7的余数只有可能是0，1，2，3，4，5，6之一，我们不妨取a为0～6之间的整数，为了看出规律，取x为1～8之间的整数，使用Excel进行计算可得下表.
　　请观察这个表中的数的特征，能否猜测出什么规律.容易看出，表中第一行（数值部分）全部为0，第二行全部为1，这是因为0x=0，1x=1的缘故.这对题目求解并无多大益处，除此之外呢？还有没有其他规律，可以使得82 017的幂降低到能计算的范围？
　　可以看到，除了第一行的数值，第六列也就是a6中每一项都是1，也就是说a6除以7的余数为1，继续猜想ax除以x 1的余数为1.
　　（二）完善猜想
　　假设x=3，再次利用Excel列表计算可知a2除以3的余数为1.假设x=5，再次利用Excel列表计算可知a4除以6的余数为1.然而当假设x=6，再次利用Excel列表计算可知a5除以6的余数不一定为1，如35除以6的余数是3.也就是说剛刚的猜想的适用范围得缩小.
　　事实上，对一切的素数p，上述猜想都成立，这一猜想一开始是由法国律师和业余数学家皮埃尔·德·费玛（Pierre de Fermat）首先发现并提出的.其原文如下：
　　设p是一个素数，a是任意整数且a不能整除p，那么ap-1除以p的余数就为1，也就是ap-1≡1（modp）.
　　（三）解决问题
　　∵82 017=86×576 1=（86）576×8，
　　∴82 017（mod7）≡（86）576×8（mod7）≡8（mod7）≡1.
　　四、问题的后续
　　回到猜想，1640年，Fermat在给Bessy的信中首次提到这一命题，但他并没有给出具体的证明，最后由德国数学家莱布尼兹证明，并被欧拉进行了推广，因此，这一命题被称作Fermat小定理.关于命题的证明在许多书籍中都有，我们将在下一次再行介绍.
　　【参考文献】
　　[1]Joseph H Silverman.A Friendly Introduction to Number Theory[M].孙智伟，等译.第3版.北京：机械工业出版社，2015：36-39.