有些排列组合问题，直接考虑不易解决.如果对问题进行观察、分析、联想，把不熟悉、不规范、复杂的问题通过分割、变形、映射等手段转化为热悉的、规范的、简单的甚至模式化的问题，则可使原问题轻松获解.这种转化方法在解题过程中常用，它是我们进行解题的杠杆，不但能拓宽解题思路，还能避繁就简，化难为易.
　　一、抽象与具体的转化
　　运用集合语言，常常可以使问题更加简洁、明确、严密，能化抽象为具体.
　　图1
　　例1 6名运动员参加4×100接力赛，要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少种安排方法？
　　解：用card(A)表示甲跑第一棒的排列数，
　　用card(B)表示乙跑第四棒的排列数，
　　则card(A∩B)表示甲跑第一棒且乙跑第四棒的排列数，
　　A∪B表示甲跑第一棒或乙跑第四棒的排列数.
　　结合图1，得card
　　=card(I)-card(A)-card(B)+card
　　(A∩B).
　　因此所求排列数为A46-A35-A35+A24=252.
　　二、正与反的转化
　　我们解题一般总是从正面入手,习惯正向思维,但有些数学问题如果从正面入手求解繁琐、难度较大,不妨打破思维常规实行“正难则反”策略,转化为考虑问题的相反方面,往往能绝处逢生.
　　例2 8个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻,A、B、C三人也互不相邻，有多少种不同的站法?
　　解：满足A、B、C互不相邻的排法有
　　A55A36种，这里包含甲、乙相邻，甲、乙不相邻.
　　在A、B、C互不相邻的条件下，甲、乙相邻的排法有
　　A44A22A35种.
　　故有A55A36-A44A22A35=11520种.
　　例3 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种?
　　解：从10个点中取4个点的取法有C410种，其中4点共面的分为三类：
　　①从四面体的每个面上的6点之中取4点，有4C46种；
　　②4点成一个平行四边形的4个中点，有3种；
　　③4点中有3点位于同一条棱,另一点是对棱中点，共有6种.
　　故有C410-4C46-3-6=141.
　　三、生与熟的转化
　　排列组合问题千变万化，我们经常会遇到一些较复杂的或生疏的问题.对于这些问题，我们要冷静思考，仔细分析，抓住问题的实质，将它转化为另一个与它有关的自己早已熟悉的问题去解答.化生为熟是解题的通用方略.
　　例4 马路上有编号为
　　1,2,3,…,8,9
　　的九只路灯，为节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，
　　但不能同时关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?
　　解：将问题转化为熟悉的问题：
　　3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间（不包括首尾两侧），有多少种插法?
　　因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球，
　　于是，这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题，故共有C35=10种方法.
　　故原题答案为10种方法.
　　图2
　　例5 某城市街道如图2所示,某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有多少种？
　　解：从A地前往B地必须走4个横段4个竖段，用a表示横段，b表示竖段,
　　则问题转化为熟悉的问题：4个a，4个b的排列问题，有C48种.
　　所以，所求路程最短的走法有70种.
　　例6 楼梯共有12级，某人上楼，每步可以上一级，也可以上两级，要用8步
　　走完这12级楼梯，共有多少种不同的走法？
　　解：要用8步走完这12级楼梯，有且只有4步上两级,
　　于是问题化为熟悉的问题: 4个2，4个1的排列问题，有C48种.
　　故原题答案为70种不同的走法.
　　四、排列组合与概率的转化
　　我们常利用排列组合方法去解决古典概型问题，反过来，利用概率的思想处理某些排列组合问题，不仅思路清晰，解法简便，而且对融会贯通，促进知识的深化均有裨益.
　　例7 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个.
　　解：由数字0，1，2，3，4，5可组成没有重复数字的六位数C15A55个,
　　又“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”的机会均等，
　　故原题答案为12C15A55=300个.
　　例8 从7个元素a
　　、b、c、d、e、f、g中选取5个作排列，若a在b前，亦在c前，共有多少种不同的排法？
　　解：从d
　　、e、f、g中选取2个元素，有C24种选法,
　　选取的2个元素与a
　　、b、c作排列，有A55种排法.
　　因为a、b、c之中任一元素在其他两元素之前的情况是等可能的,
　　故原题答案为13C24A55=240种排法.
　　五、组合与组合数恒等式的转化
　　有关组合数的恒等式，虽然可以直接利用组合数的有关公式证明，但是往往过程较繁.如果细察题目特征，类比联想，构造模型，利用组合知识及“乘法原理”、“加法原理”来解决，思路明了，趣味横生.
　　例9 求证：
　　(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=Cn2n.
　　解：设有
　　A、B两只口袋，A中装有n个不同的白球，B中装有n个不同的红球.
　　一方面，从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有
　　Cn2n种取法.
　　另一方面，从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球可分为
　　n+1类：
　　不取A袋中的小球，有
　　C0nCnn=(C0n)2种；取A袋中的1个小球，有
　　C1nCn-1n=(C1n)2种；
　　取A袋中的2个小球，有C2nCn-2n=
　　(C2n)2种；依次类推，取A袋中的n个小球，有
　　CnnC0n=(Cnn)2
　　种.
　　根据加法原理，从A、B两只口袋中的2n个小球中取n个小球有
　　(C0n)2+(C1n)2+…+
　　(Cnn)2
　　种取法.
　　故原式得证.
　　六、映射转化
　　在解决问题时，注意和已解决过的问题建立一对一或多对一映射，则可使解法完整、合理，有效避免“重复”和“遗漏”.
　　例10 设凸六边形C的任意三条对角线都不在C的内部共点，在C的内部对角线交点数有多少个？
　　解：在C内相交的两条对角线对应于C的四个顶点,
　　反过来，C的四个顶点对应于两条对角线的一个交点.
　　故交点数为C46=15.
　　例11 △ABC内有任意不共线的2002个点，加上A、B、C三个顶点，共2005个点，把这2005
　　个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成多少个小三角形？
　　解：小三角形与“内角和180°”之间是一一对应关系.
　　设一共可以形成x个小三角形，则x×180°=2002×360°+180°.
　　解得x=4005，即一共可以形成4005个小三角形.
　　例12 长方体的棱、面对角线、体对角线中，异面直线共有多少对？
　　解：题中涉及的直线是长方体八个顶点中任意两点的连线.
　　这八个顶点共可构成(C48-12)个四面体,
　　每个四面体对应三对异面直线.故共有174对异面直线.
　　七、等效转化
　　等效转化是物理学中一种常用转化方法，它通过换个说法、换个图形，将原问题等效转化为另一问题，通过对新问题的研究达到解决原问题的目的.在数学中，运用这种方法，往往会获得独具特色的简捷解法.
　　例13 组织一个球队共10人,他们从3所中学中组成,每个学校至少2人,名额分配方案有多少种？
　　解：将问题等效转化:
　　先每所学校分1个名额，剩余7个名额，3所中学每校至少1个名额，有多少种分配方案？
　　问题即是用2个隔板插入6个间隙中的插法有多少种？
　　故共有C26=15种方法.所以，原题答案为15种方法.
　　图3
　　例14 如图3(1)中的每个开关都有闭合与不闭合两种情况，因此5
　　个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况共
　　有多少种？
　　解：电路从P到Q接通的情况分两类：
　　①开关3不闭合，电路图等效转化为图3(2)，
　　则电路从P到Q接通的情况有
　　2×C22×(C02+C12+C22)-1=7种.
　　②开关3闭合，电路图等效转化为图3(3),
　　则电路从P到Q接通的情况有
　　(C12+C22)×(C12+C22)=9种.
　　故电路从P到Q接通的情况共有16种.
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　　四川省苍溪中学(628400）
　　苍溪县城郊中学(628400）