【摘 要】
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本文主要研究非齐次不可压Navier-Stokes方程密度补丁的全局正则性问题和两类流体方程的适定性问题.全文共分五章,具体如下:第一章为引言部分.主要综述所研究问题的物理背景和相关函数空间的定义,本论文的主要结果及其创新点.第二章研究不可压缩Navier-Stokes-Fokker-Planck方程的Cauchy问题.首先利用Garlakin逼近方法构造系统的近似解,然后利用Littlewood
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本文主要研究非齐次不可压Navier-Stokes方程密度补丁的全局正则性问题和两类流体方程的适定性问题.全文共分五章,具体如下:第一章为引言部分.主要综述所研究问题的物理背景和相关函数空间的定义,本论文的主要结果及其创新点.第二章研究不可压缩Navier-Stokes-Fokker-Planck方程的Cauchy问题.首先利用Garlakin逼近方法构造系统的近似解,然后利用Littlewood-Paley理论,连续性方法证明了系统在Hilbert空间的局部适定性.其次,在某类Lp型次临界空间上我们证明了解的存在性.主要用到热算子的极大正则性估计和连续性方法.第三章研究磁场无耗散的齐次不可压MHD方程在能量框架Hs-1（Rd）×Hs（Rd）,s>d/2下的解的局部存在唯一性,证明依赖于我们给出的一个有用的交换子估计.第四章研究欧氏空间上三维非齐次不可压Navier-Stokes方程的密度补丁的全局正则性.在假定初始密度取为密度补丁,并且补丁边界为Ck,γ（k=1,2）的,速度场满足一定的正则性和小性的情况下,我们证明了密度补丁的边界在随流体演化过程中保持Ck,γ（k=1,2）的正则性.所用的方法主要是时间加权能量估计,Stokes估计,奇异积分的性质,奇异积分偶核在半球上的的消失性,以及Chemin层正则性技术.第五章研究容许间断初始密度的二维不可压缩MHD方程组的Cauchy问题.一方面,建立了系统在初值（ρ0,υ0,b0）∈ L∞（R2）×H2（R2）×Hs（R2）而ρ0远离真空时的全局适定性.特别地,利用Lagrangian方法证明了解的唯一性.另一方面,我们研究了密度补丁的全局正则性.证明主要依赖于细致的时间加权能量估计、Stokes估计、奇异积分算子、线性插值和Lagrangian方法.
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