本文主要研究了随机自相似测度的量子化维数和紧集上倍测度的纯原子性。　　 第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生，给出了包括Hasudorf维数，迭代函数系，测度维数，符号空间在内的分形基本理论及强分离条件和开集条件的一些基本概念及主要性质。　　 第二章我们先给出概率论里的一些相关知识，接着给出随机分形的一些基本理论和相关命题，并主要介绍了随机康托集。　　 第三章我们主要讨论了随机自相似集K(ω)上的随机自相似测度μ的量子维数，我们建立了μ的量子维数和它的分布之间的关系，并且我们给出了这个公式的一个简单应用。　　 第四章我们主要研究紧集上倍测度的纯原子性，给出两个Hasudorf维数都在(0，1)上的紧集X和Y，且X上所有的倍测度都是纯原子的，而Y上任一倍测度都不是纯原子的。　　 第五章在结束语中我们提出了下一步工作的设想。