不确定性广泛存在于实际工程设计问题中,它们的表现形式多种多样,当样本数据稀缺而仅可获知不确定参数的边界时,采用凸集模型对不确定性进行描述是一种较为理想的选择。近年来,凸集模型的研究进展稍有停滞,主要原因在于凸集理论的数学基础还不完善,特别是关于工程设计关注的未知而有界参数的相关性问题尚未提出成熟的解决方案。另外,传统基于凸集模型的可靠性分析方法工程适用性不强,这一因素也制约了凸集理论具体应用的进一步发展。本文以凸集模型中常见的椭球模型为应用对象,并将其与区间模型对比,在凸集模型的构建、度量、不确定传播、可靠性应用方面展开了较为系统的研究,取得了一些创新性成果。具体研究工作如下:(1)在综合分析区间模型和椭球模型的形貌特征的基础上,进一步提出了基于椭球模型的期望、方差、协方差、全矩阵等基本概念,并明确地指出了相关定义的几何意义,深化了对椭球模型数字特征的本质认识,丰富了相关数字特征的运算规律;通过证明指出了不确定变量之间的协方差矩阵即为椭球模型的特征矩阵的逆矩阵,采用纯解析几何的方法揭示了高维椭球模型在低维空间的投影规律,由此确立了区间模型与椭球模型之间的关联;基于非线性规划的基本原理,将最小闭包椭球问题转化为凸优化问题,针对信息完备和信息不完备两种情形,分别开发了建立椭球模型和区间模型的稳定高效算法。(2)针对工程实践中实验数据的分布往往无鲜明棱线的特点,提出优先选用任意姿态的多维椭球描述不确定参数变化范围的观点,摆脱了传统方法先建立区间而后建立轴向椭球的桎梏,继而通过该方法获取经过数据挖掘而得到的新区间;将凸集模型与优化理论相结合,经泰勒展开,分别得到了不确定信息在区间模型和椭球模型中传播导致的响应波动范围,结合先前推导所得的椭球模型与其外切超长方体几何特征之间关系的数学表达公式,证明了采用椭球模型得到的不确定响应波动范围比区间模型所求得宽度要窄的有利结论;将上述分析方法应用于考虑横向剪切变形的压电层合功能梯度材料圆柱壳的不确定屈曲分析中,用于计算相关结构在不确定材料属性下的屈曲荷载范围。(3)针对传统凸集非概率可靠性分析方法提供参考信息少,难以被工程技术人员接受的特点,提出了一种基于无差别原则的非概率可靠性分析模型。该新模型以处于失效域内的不确定凸集的体积与整个不确定凸集的体积的比值为非概率可靠性的度量,削减了基于凸集理论和基于随机理论的两套可靠性分析方法体系的隔阂;以椭球凸集为应用对象,开发了与新可靠性分析模型匹配的Monte Carlo仿真程序,并建立了两种高效的一阶近似可靠性分析方法。在一阶近似可靠性分析方法中,将标准空间中原点到失效面的最短距离视为可靠性指标,通过引入特殊函数,推导了可靠度关于可靠性指标的简明的解析表达式。可靠性指标的求解可根据具体情况,或通过直接对极限状态函数进行线性回归并结合相应的解析表达式获取,或通过引入传统概率可靠性模型中改进的HL-RF算法搜寻验算点而得。(4)针对基于凸集理论的一阶可靠性分析方法因忽略失效面的曲率,在面对极限状态函数具有较高非线性程度时,分析结果误差大的不足,进一步发展了基于凸集理论的二阶可靠性分析方法;将极限状态函数在设计点处进行泰勒展开至二次项,通过引入设计点处的平均曲率,构造了新的近似失效曲面,推导得到可靠性关于曲率和可靠性指标的解析表达式;引入序列迭代响应面代理模型技术,发展了基于代理模型的非概率可靠性分析方法,提高了基于凸集理论的二阶可靠性分析方法处理具黑盒子型极限状态函数的复杂工程问题的能力。