本文利用拓扑图论中图的可嵌入性理论，Mohar的覆盖矩阵法，刘彦佩的图嵌入的联树模型，Gross的加边技巧，以及White-Pisanski理论等，研究图在曲面上的嵌入分布和一些相关的性质.其主要研究内容包括图的完全嵌入分布、图的亏格分布、笛卡尔积图的亏格和交叉帽数、联图的亏格和交叉帽数、图的上可嵌入性等.它们是拓扑图论中关于图的嵌入研究的一些重要或关键问题.本文取得的结果主要在以下几个方面:　　 1.1989年，Mohar给出了嵌入曲面的拓扑类型与对应的覆盖矩阵的秩之间的关系.1994年，Chen，Gross和Rieper首次利用覆盖矩阵方法，计算了necklaces，closed-end ladders和cobblestone paths的完全嵌入分布.本文第二章，我们进一步应用Mohar的覆盖矩阵，得到了由双极图D3所构成的两类图的完全嵌入分布.　　 2.1989年，Furst，Gross和Statman首次引进闭梯图(closed-endladders)并得到其亏格分布.本文第三章，利用刘彦佩创建的嵌入的联树模型，得到了二重闭梯图(closed-end double-ladders)的亏格分布的一个递推关系，并进一步给出了多重闭梯图(closed-end muti-ladders)在射影平面上的嵌入个数.　　 3.设(G，u，v)是以u和v为根的双根连通图，用边e连接根u和(r).所得之图记为G+e.Gross对根u和(r)的度均为2的情形，给出了G+e的亏格分布与(G，u，v)的部分亏格分布之间的一个关系.本文第四章，我们在条件上进行了推广，将其中一个根的度推广到任意大的情形，划分依据进行了改进，并由(G，u，v)的部分亏格分布导出了G+e的亏格分布.　　 4.图G的最大亏格γM(G)有上界(l)β(G)/2」，其中β(G)为G的Betti数，若γM(G)=(l)β(G)/2」，则称G是上可嵌入的.任韩等人在文[J.EastChina Normal University(Natural Science)，5(2010)，1-13]中，全面阐述了近30年来关于图的最大亏格及其相关问题所取得的进展，并提出了如下两个猜想:(1)设G为简单连通图，且G的每条边含在一个三角形K3中，则G是上可嵌入的;(2)设c为任意的正数，则存在一个自然数N(c)，使得对每一个图G，若G的点数n≥N(c)，且最小度δ(G)≥cn，则G是上可嵌入的.本文第五章，我们否定了上述两个猜想，并探讨了上述猜想成立的条件.　　 5.令Km，m，m（m≥1）是一个完全正则三部图，G是一个围长大于4的二部图，且G的最大度△(G)≤2m.本文第六章，我们应用White-Pisanski理论，计算了笛卡尔积图Km,m,m×G的亏格，并类似得到了Km,m,m与一些非二部图的笛卡尔积的交叉帽数.　　 6.设Cm和Cn分别表示有m个点和n个点的两个不交的圈，Cm+Cn表示Cm与Cn的联图.本文第七章，得到当m＞3且n＞3或m=n=3时，Cm+Cn的亏格为「(m-2)(n-2)/4(])，其交叉帽数为「(m-2)(n-2)/2(」).