算子理论是泛函分析的重要组成部分.作为是算子理论的重要分支,解析函数空间上的算子理论，一直得到国内外学者的持续关注.因为Toeplitz算子理论是解析函数空间上的一类非常重要的算子，所以 Toeplitz算子的研究虽然已经超过半个世纪,取得了大量的成果,但直到今天 Toeplitz算子的相关研究依然很活跃.主要的原因包括下面两个方面:一方面,Toeplitz算子与von Neumann代数、非交换几何、随机矩阵、量子信息、工程控制理论等有密切的关系;另外一方面，研究函数空间上的Toeplitz算子和Toeplitz代数无论是对数学科学本身,还是对物理学以及工程技术的发展都会起着紧要的作用.本文主要研究模型空间(Model space)上的截断Toeplitz算子和Bergman空间上的乘法算子.　　首先，我们研究了模型空间上的截断Toeplitz算子的紧性. Hardy空间上有界的Toeplitz算子的符号是唯一的,而模型空间上有界的截断Toeplitz算子对应的符号是不唯一的. Baranov，Chalendar，Fricain已经构造出了没有有界符号的有界的截断Toeplitz算子.所以,本文只考虑具有有界符号的截断 Toeplitz算子的紧性.我们主要利用Hardy空间上的Hankel算子的乘积和函数代数中极大理想空间的相关技巧，得到了具有有界符号的截断Toeplitz算子的紧性的充分必要条件.这样，Sarason和Bessonov关于截断Toeplitz算子紧性的结果只是这个充分必要条件的特殊情况.　　其次,我们研究了Bergman空间上的乘法算子生成的von Neumann代数的性质和可交换性.在高维区域上的Bergman空间，考虑以全纯真映射为符号的乘法算子生成的von Neumann代数的性质和可交换性.在一些有趣的情形下,这些性质依赖于一个特殊的黎曼流形.算子理论,几何和复分析在研究中交互出现.　　最后，我们总结了本学位论文研究的主要结果,并提出本文尚未克服的困难和希望进一步考虑的问题.