【摘 要】
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本文主要讨论分数阶Tikhonov正则化在图像去模糊中的应用.正如我们所知,图像的获取不可避免地会经历降质过程.所以对已经降质的图像进行恢复这一过程就显得尤为重要,而图像去模糊恰是图像恢复里比较重要的一部分,并且还是一种典型的不适定问题.为获得高质量图像,本文把图像去模糊问题转化成求解非负线性最小二乘问题.标准Tikhonov正则化方法,牛顿法和梯度下降法等是求解线性最小二乘问题常用的方法.所以要
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本文主要讨论分数阶Tikhonov正则化在图像去模糊中的应用.正如我们所知,图像的获取不可避免地会经历降质过程.所以对已经降质的图像进行恢复这一过程就显得尤为重要,而图像去模糊恰是图像恢复里比较重要的一部分,并且还是一种典型的不适定问题.为获得高质量图像,本文把图像去模糊问题转化成求解非负线性最小二乘问题.标准Tikhonov正则化方法,牛顿法和梯度下降法等是求解线性最小二乘问题常用的方法.所以要求解非负线性最小二乘问题,在使用标准Tikhonov正则化方法的基础上,模迭代方法被提出来解决解的非负性这一问题,此种方法称为基于带约束的标准Tikhonov正则化的模迭代方法.但是标准Tikhonov正则化方法的一个缺点是求得的解会出现过度平滑化问题,即损失掉很多真实解本该有的细节.为此专家学者们提出分数阶Tikhonov正则化方法来改善这一缺点,于是本文的工作主要是把基于带约束的标准Tikhonov正则化的模迭代方法改为基于带约束的分数阶Tikhonov正则化的模迭代方法以求得更优解.本文开头介绍了图像去模糊问题的研究背景,及国内外学者所做的一些研究工作.正文首先介绍了一些预备知识,随之介绍了求解最小二乘问题所用的经典方法,即标准Tikhonov正则化方法,以及因为实际应用的需要而产生的非负最小二乘问题,其次详细介绍了为求解该问题而得到的基于带约束的标准Tikhonov正则化的模迭代方法.为进一步提高运算效率和方便求解矩阵的逆,接着又引入Golub-Kahan双对角化,把大型矩阵问题转化到Krylov子空间上去,大大减少了计算量.接下来,就是为改善标准Tikhonov正则化方法带来的解的过度平滑化问题,详细介绍了分数阶Tikhonov正则化方法,鉴于此,本文把基于带约束的标准Tikhonov正则化的模迭代方法替换为基于带约束的分数阶Tikhonov正则化的模迭代方法.而且在分数阶矩阵的计算中,Golub-Kahan双对角化发挥了重要的作用,它把大型矩阵问题转化到Krylov子空间上去,同时也提高了运算效率.本文给出了详细的证明和推导过程,整个过程中用到的几个参数的选取也给出了详细的说明.再者,本文对一些边界条件进行了简单的陈述.最后,本文对一维的非负信号和二维图像进行了数值实验,把用这两种方法得到的解进行了输出和比较,实验结果也表明了基于带约束的分数阶Tikhonov正则化的模迭代方法要优于基于带约束的标准Tikhonov正则化的模迭代方法.
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