三元二次型与二次剩余

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二次丢番图方程是数论中经典又活跃的研究课题。拉格朗日在1770年证明的四平方和定理断言每个自然数(即非负整数)都可以表示成四个整数的和。本文研究自然数的二次多项式表示以及有限域上与平方元有关的置换问题。首先我们研究通用的二次多项式。对整系数二次多项式f(x,y,z)如果每个自然数都可以表示成f(x,y,z)(其中x,y,z为整数),我们就说f是通用的。我们利用了二次型算术中的Siegel-Minkowski公式和spinor例外整数理论证明了一些由孙智伟提出的关于通用多项式的猜想。例如,我们证明了x2+y(y+1)/2+2z(4z+1)是通用的。另外,我们还研究了等差数列的二次型表示,解决了一些由孙智伟,L.Pehlivan与K.S.Williams提出的猜想,例如,我们证明了3x2+5y2+30z2(x,y,z为整数)可表示所有模15余8的自然数。对整数m≥3,我们用Pm(x)表示广义m角数(m-2)x2-(m-4)x/2(其中x为整数)。给定正整数a,b,c,k和不整除c的奇素数p,我们利用三元二次型的spinor例外整数理论给出了多项式ax2+by2+cPpk+2(z)在x,y,z取整数值时能可以表示充分大整数的充分必要条件。我们还利用三元二次型理论与模形式的理论研究了带有线性限制的平方和表示问题。孙智伟提出的1-3-5猜想断言每个自然数n可表示成四个自然数x,y,z,w的平方和使得x+3y+5z为平方数。我们证明了存在自然数集的有限子集A,使得每个不在集合{16ak:k≥0,a∈A}中的自然数都可表示成x2+y2+z2+w2(x,y,z,w为整数)使得x+3y+5z为4的幂次。另外我们还证明了孙智伟提出的关于四平方和表示附带线性限制的一些猜想。例如:正整数都可以表示成x2+y2+z2+2w2(x,y,z,w为整数)使得x+y+2z+2w=1,充分大的整数都可以表示成x2+y2+z2+2w2(x,y,z,w为整数)使得x+2y+3z=1.我们还研究了关于有限域上平方元的置换问题。设p≡1(mod 4)是一个素数,g为模p的一个原根,再设a1<…<ap-1/2是1,…p-1中模p的全部二次剩余。考虑三个序列A0:12,22,…,((p-1)/2)2,A1:a1,a2,…,a(p-1)/2,A2:g2,g4,…,gp-1(其中a表示a+pZ),它们中每一个可视为其余两个的置换,我们完全确定了这些置换的符号。我们还研究了上述问题在p2元域上的模拟。
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