随着现代金融市场的完善与发展、精算学受到越来越多的关注.最优红利分配问题与破产问题以其广泛的应用前景和重要的理论价值成为当今精算领域的研究热点.红利的引入为评估公司资产提供了更多有价值的理论依据,同时也为公司设计红利产品提供了理论上的支持.而研究破产时刻的相关精算量可以预测经营过程的稳定性,从而为经营者提供一个早期风险的警示手段,并帮助经营者做出正确的决策.因此,本文在考虑利率因素的环境下,以收入相对稳定而索赔随机发生的保险公司和日常支出相对稳定而收入随机发生的开发勘探公司为研究对象,用跳跃—扩散模型及其对偶模型描述公司资产,重点讨论这两类公司的最优红利分配问题与破产问题.具体工作如下。第2章用跳跃—扩散模型描述公司资产,在常利率环境下讨论保险公司股东可分到的累计红利的折现期望最大值.这是一个最优控制问题,累计红利的折现期望最大值在该问题中称为值函数.运用动态规划原理,本文得到了最优控制问题所对应的HJB方程.前人常常在值函数足够光滑的假设下处理最优控制问题.但是值函数的光滑性证明并不是一个显然的工作,而且本章研究的跳跃—扩散模型有连续的部分也有跳跃间断的部分,不能直接推出值函数的光滑性.因此讨论值函数的光滑性问题成为这一章研究的难点.首先,本文借助于粘性解的概念,证明最优控制问题的值函数是相应的HJB方程的粘性解.其次,在值函数为凹函数和索赔分布是连续函数的假设下,得到了值函数的二次连续性质.在此基础上,根据最优控制问题所对应的HJB方程,本文得到了最优分红值函数的解析表达式.第3章用对偶的跳跃—扩散模型描述公司资产,在随机利率环境下研究开发勘探类公司的最优红利分配问题.与第2章不同,本章的重点放在最优红利分配策略的选择问题上.已有文献仅讨论了采用障碍分红策略时的分红边界的选取问题.但是,关于障碍分红策略是否是这类公司的最优的红利分配策略的问题,并没有给出严谨完整的回答.本章针对这种类型的公司,给出了障碍分红策略是最优红利分配策略的充分条件.并且,在随机收入服从混合指数分布的情况下,验证了障碍分红策略的最优性.第4章用跳跃—扩散模型描述公司资产,在随机利率环境下研究保险公司的破产问题.由于考虑利率的风险模型中,理赔过程的增量不再具有平稳性,因此随机利率为这部分工作增加了难度.本章以破产时刻的罚金折现期望为研究工具.首先,利用泊松过程的再生性和随机分析中的鞅论等技巧,得到随机利率下破产时刻的罚金折现期望所满足的积分—微分方程.其次,利用拉普拉斯变换,得到常利率环境下的该期望在零点的导数值,从而根据Volterra积分方程理论,得到针对一般索赔分布的破产时刻罚金折现期望的解析表达式.最后,通过选取不同的惩罚函数,得到了一些描述破产严重性的精算量.本章的工作推广了已有文献中的部分结果.第5章将红利分配与破产问题结合起来,利用对偶的经典风险模型描述开发勘探类公司的资产,考虑其在常利率环境下,采用障碍分红策略时的破产问题.本章构造了一个类似于破产时刻罚金折现期望的辅助函数.首先,利用泊松过程的再生性,得到辅助函数所满足的积分—微分方程.其次,在收入服从指数分布的条件下,借助于超几何函数,得到辅助函数的解析表达式.最后,利用辅助函数的相应结果,得到了破产时刻的相关精算量.