近年来,拓扑相关问题的研究取得了长足的发展与进步。理论上讲,对拓扑的研究帮助人们深刻地理解了量子霍尔效应等传统的问题，此外，还进一步向人们指明了拓扑绝缘体,拓扑超导体,Majorana费米子,Weyl费米子等新型的拓扑材料的存在。特别的是，这些新型的拓扑材料具有其独特的拓扑性质。这些独特的拓扑性质一方面有助于帮助人们加深对自然现象的理解，另一方面，在量子计算以及低耗散输运等方面也具有广泛的实际应用潜力。　　拓扑材料的这诸多优点使得人们特别重视其在各种材料上的发现与研究。特别的,利用量子模拟的手段来实现这些拓扑性质并对其进行研究也是人们努力的方向之一。量子模拟是指利用人工手段构造一个量子系统来模拟所需要系统的哈密顿量。其具有模型相对简单可控的优点，便于人们分析模拟体系的性质，并观察与验证相对应的理论预言。在本篇论文中,我们主要研究了一些拓扑系统的拓扑性质，并提出了一个用量子模拟的方法进一步研究拓扑的方案。具体来说,我们首先简单回顾了拓扑系统的发展历史,并重点介绍了TKNN数,Majorana费米子，Weyl费米子等不考虑相互作用的体系的拓扑。之后，我们进一步介绍了一些量子模拟方法在研究拓扑体系上的主要进展以及应用。这里我们的介绍集中于光学体系,包括光子晶体、光学共振腔等方法。并且我们还特别介绍了利用人工维度来减少体系复杂度的方法。　　在介绍完这些背景之后，我们具体介绍了我们的主要贡献。具体包括:　　1.对Majorana费米子来说,其概念与主要性质是清楚而明确的。然而,如何在真实材料中确实地证明其存在一直是物理学界中一个非常受人关注的问题。这是因为，对于验证Majorana费米子存在性的最简单的方法:输运测量得到零偏压微分电导峰的方法来说，虽然诸多实验已经观察到了预言所指出的零偏压微分电导峰,但是人们仍然不能确信Majorana费米子的存在。这是因为除了Majorana赞米子之外，诸多其它机制，比如边界上的近零能杂质态、 Kondo效应等等都有可能导致类似的现象出现。因而单纯输运测量得到的零偏压微分电导峰只能作为Majorana费米子存在的必要条件而非充分条件。另一方面,利用Majorana赞米子其它的特殊性质来验证其存在性的方法,比如利用其约瑟夫森效应的4π周期性等，在实验上难度较高，是比较难以实现的。因而，如果能利用Majorana费米子独特的性质，但是直接用输运方法来测量的话会是一个综合了实验难度与结果可信性的较好的方案。据此，我们指出，如果用圆环将两个Majorana费米子连接起来，并通过一个通过圆环中心的磁通来调节相位，就可以实现这一点。具体来说，由于磁通量子化以及热力学平衡,在圆环两端的拓扑超导体上超导序参量的相位差只能是零或π。当这个相位为π时，圆环上会存在两个无耦合的Majorana费米子。这两个无耦合的Majorana费米子会使得通过连接圆环的电极的微分电导谱中在零偏压附件出现两个非常靠近的峰。但是当相位变为零时，这两个Majorana费米子会相互耦合劈裂变成普通费米子态,而相对应的峰在圆环比较小的情况下会远离零偏压。这两个特性十分容易区分,因而可以作为验证Majorana费米子存在的证据。　　2.我们还讨论了用量子模拟的方法实现Weyl费米子的可能性。虽然Weyl费米子在半导体固体材料中已经被成功发现，但是由于固体材料复杂的能谱，其独特的边界态特性，也就是费米弧往往与体能谱相简并，从而影响人们对其性质的分析。因而通过量子模拟的手段构造简洁标准的Weyl费米子系统是一个非常有价值的尝试。而Weyl费米子作为三维体系中的拓扑现象，对量子模拟需求的格点数是相对较高的。因而，这里我们提出了一种在简并光腔阵列系统中，利用光子的轨道角动量量子数作为虚拟格点来减少系统所需要资源的理论方案。这个系统中的能谱性质可以通过光学的输运行为来测量。我们发现,对于我们所提出的系统，其对应的边界态的耦合强度随约束方向格点数不同有很大的不同。在约束方向格点数为奇数时,对应两个边界态无耦合，从而能观察到完整的费米弧。但是,当其为偶数时，两个边界态的耦合强度会强烈依赖于动量以及自旋，从而造成了动量及自旋依赖的输运谱。　　3.我们进一步介绍了在考虑相互作用后，对体系的拓扑问题的一些研究进展。目前，对于这个问题,人们仍然没有很好的结论,现在的研究方案都有着各自的问题与适用范围。因而，如何更好的刻画相互作用体系中的拓扑仍然需要人们的努力。然而尽管在理论方向面临了很多困难，人们仍然试图通过实验的方法，尤其是用量子模拟的方法来研究其中的物理。我们重点讨论了在占据数为1/2的分数霍尔效应体系中能谱随边界条件的依赖关系,由此说明通过实验方法直接对相互作用体系中的拓扑进行测量的可能性。