【摘 要】
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同步现象是自然界中普遍存在的一种现象.许多动物群体的行为往往刚开始时是杂乱无序的,过了一段时间,群体会出现步调一致的行为.例如萤火虫有规律地发光,青蛙在夏夜里齐鸣以及鸟群向同一方向飞行等.这些动物的集体行为引起研究者探究同步行为的浓厚兴趣.为了更好地解释同步现象,研究者建立了许多数学模型.Kuramoto模型是描绘集体行为,解决同步问题的经典数学模型之一.许多学者对Kuramoto模型进行大量研究
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同步现象是自然界中普遍存在的一种现象.许多动物群体的行为往往刚开始时是杂乱无序的,过了一段时间,群体会出现步调一致的行为.例如萤火虫有规律地发光,青蛙在夏夜里齐鸣以及鸟群向同一方向飞行等.这些动物的集体行为引起研究者探究同步行为的浓厚兴趣.为了更好地解释同步现象,研究者建立了许多数学模型.Kuramoto模型是描绘集体行为,解决同步问题的经典数学模型之一.许多学者对Kuramoto模型进行大量研究并广泛应用于物理,生物工程,机械工程等领域.高维Kuramoto模型是由多个微分方程构成的复杂动态系统,各个个体动态方程按照图的结构互相耦合.在现有的高维Kuramoto模型的研究中,连接图是完全图情形下的研究成果有很多并且大量的结论还没有推广到非完全图的情形.当连接图是m正则图,一般的无向图甚至有向图时,高维Kuramoto模型的研究结果相对较少.本论文研究了高维Kuramoto模型在连接图是非完全图情形下的一些动态行为,推广了已有的一些研究结果,提出了新的问题并得到了新的理论结果.首先对于一阶高维Kuramoto模型,将已有的关于完全图的部分结果推广到了m正则图的情形.其次对于二阶高维Kuramoto模型,在一般的连通无向图的条件下,得到了系统收敛到平衡点的充分条件.另外对于有向图的情形,研究了三个个体构成的一阶高维Kuramoto模型,不仅证明了指数速度同步,而且对于同步误差的指数衰减率给出了准确的描述.最后,通过仿真验证了所得到的理论结果.
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