【摘 要】
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次线性期望G-期望是彭实戈院士提出的著名的非线性数学期望,由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（Backward Stochastic Differential Equation,简称G-BSDE）是G-期望理论中重要的组成部分.G-BSDE为完全非线性偏微分方程（Partial Differential Equation,简称PDE）提供概率解释并为在波动率不确定条件下路径依赖的未定权益定价提供
【基金项目】
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国家自然科学基金“非线性数学期望及其在金融中的应用”（No.11371362）；
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次线性期望G-期望是彭实戈院士提出的著名的非线性数学期望,由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（Backward Stochastic Differential Equation,简称G-BSDE）是G-期望理论中重要的组成部分.G-BSDE为完全非线性偏微分方程（Partial Differential Equation,简称PDE）提供概率解释并为在波动率不确定条件下路径依赖的未定权益定价提供方法。目前,G-BSDE理论已成为随机分析和概率研究领域中的热点研究方向之一。本文的第1章是绪论,简要地介绍了G-期望基础理论、G-BSDE理论和与之相关的重要结论以及本文的主要工作。从第2章开始对G-BSDE理论中的问题做了深入系统地研究,并取得了一些进展。在第2章中,我们在生成元关于y满足Osgood条件和关于z满足Lipschitz连续的条件下,证明了G-BSDE解的存在唯一性定理、比较定理以及相应的非线性Feynman-Kac公式.首先,利用Picard迭代的方法证明了G-BSDE解的存在性,并利用解的先验估计得到了G-BSDE解的唯一性（见定理2.4）.在此基础上,利用卷积方法构建了G-BSDE逼近序列,根据逼近方程序列解的收敛性质和Sun（2020）[136]推广的比较定理得到了Osgood条件下比较定理（见定理2.19）;最后,给出了相应的非线性Feymann-Kac公式（见定理2.21）.在第3章中,我们在生成元关于y满足弱单调、线性增长条件和关于z满足Lipschitz连续条件下,证明了G-BSDE解的存在唯一性定理和比较定理.首先,利用卷积方法构建了以Lipschitz卷积函数为生成元的G-BSDE逼近序列,考虑到卷积函数的性质我们获得了逼近方程解的一致有界性估计,并应用一致连续条件下生成元与卷积函数满足全局一致收敛性质和容度理论下单调收敛定理证明逼近方程解的收敛性,进而利用逼近的方法证明解的存在性.同时,应用了适当的先验估计证明了解的唯一性（见定理3.11）;其次,在此基础上,利用第2章定理2.18中类似的方法获得了相应的比较定理（见定理3.13）.在第4章中,我们在生成元为一类非Lipschitz连续和关于z满足Lipschitz连续条件下,研究了G-BSDE解的存在唯一性定理.在经典的BSDE理论中,Wang-Huang（2009）[144]提出了该类条件并利用Picard迭代逼近的方法获得了BSDE解的存在唯一性定理.在G-期望框架下,我们仍采用迭代的方法,讨论了逼近方程的解在区间[T1,T]上一致有界性和收敛的先验估计式,并最终采用区间倒向递推的方法证明了G-BSDE在整个区间[0,T]上解的存在唯一性定理（见定理4.8）.在第5章中,我们在有限区间[0,T]上生成元关于y满足与时间t不一致的一致连续和关于z满足与时间t不一致的Lipschitz连续条件下,研究了G-BSDE解的存在唯一性定理和比较定理.首先,利用卷积技术构建上确界和下确界G-BSDE逼近序列,并在生成元关于时间t不一致的线性增长条件下获得了关于逼近方程的解（（?）n,（?）n,（?）n）的一致有界性以及（?）n收敛的先验估计.其次,对上述两类G-BSDE逼近序列构建Picard迭代G-BSDE逼近方程,利用Hu-Qu-Wang（2020）[54]中推广的线性化技术估计和ODE的方法控制两类卷积逼近方程的解之差（?）n-（?）n.最后,利用G随机分析技术证明了G-BSDE解的存在唯一性（见定理5.20）.在解的存在唯一性定理基础上,利用与时间t不一致的Lipschitz的比较定理得到了比较定理（见定理5.23）.
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