特征值问题的计算是计算数学的基本论题之一，在科学研究、工程技术、经济管理等方面有广泛应用。 在本论文中，我们考虑一个带有间断系数的二阶特征值问题，问题起源于非线性光学问题．若用谱方法来解这样的非线性光学问题，其计算速度是非常快的，如果问题的解是光滑的，那么该方法的计算精度也非常高。但是如果光在传播的过程中，穿过不同的介质，那么问题的系数将会是分片光滑，这样的话，谱方法在计算过程中的精度将丢失。为此我们在系数函数的间断处将问题的定义区间分成两部分，并在各部分定义独立的基函数，最后用一个全局的基函数将两部分联系起来。离散的分段区间变分形式就是本文的主要思想：Legendre—Galerkin谱方法。从数值结果可以看出，Legendre—Galerkin谱方法对该问题特征值的逼近达到超几何收敛，对此我们进行了理论分析。收敛性分析中，我们用到了最小最大原理。 文中还用Chebyshev配点法对此问题进行了考察，在应用配点法时，我们要对间断的系数函数进行点上的预估计，数值结果表明，我们只能得到二阶的收敛阶。但我们可以通过将间断系数函数用一系列Chebyshev多项式展开来对配点法进行改进。对各种谱方法的收敛速度的数值结果都在文中列出来了。