本论文主要研究量子多体系统中的三类L2（质量）临界约束极小问题,具体包括极小元的存在性与非存在性、质量参数趋于临界值时极小元的渐近收敛行为等分析性质.全文共分四章:在第一章中,我们将概述三类质量临界约束极小问题的具体背景及其国内外的研究现状,引入一些相关的预备知识,并简单地介绍全文的主要结果.在第二章中,我们分析下述带陡峭位势的质量临界约束极小问题:eλ（N）:= inf{u∈H1（Rd）,‖u‖22=N} Eλ（u）,其中d≥3且N>0,而Hartree型能量泛函Eλ（u）满足Eλ（u）:=∫Rd|▽u（x）|2dx+∫Rdλg（x）u2（x）dx-1/2∫Rd∫Rdu2（x）u2（y）/|x-y|2dxdy,这里陡峭位势λg（x）满足λ>0,0=g（0）=infRd g（x）≤g（x）≤1并且1-g（x）∈Ld/2（Rd）.我们证明存在与N和λ无关的临界常数Ⅳ*>0使得:当N≥N*时,则对任意的λ>0,eλ（N）不存在极小元;当0<N<N*时,存在常数λ*（N）>0使得当λ>λ*（N）时,eλ（N）存在极小元,但是当0<λ<λ*（N）时,eλ（N）不存在极小元.进一步地,对于给定的N∈（0,N*）,我们分析当λ→∞时eλ（N）极小元的极限行为,证明极小元的质量集中在g（x）的底部.在第三章中,我们研究如下有界区域Ω（?）R4上的质量临界约束极小问题:e（a）:= inf{u∈H01（Ω）,‖u‖22=1} Ea（u）,这里定义能量泛函Ea（u）如下Ea（u）:=∫Ω（|▽u（x）|2+V（x）u2（x））dx-a/2∫Ω∫Ωu2（x）u2（y）/|x-y|2dxdy,a>0.当位势函数V（x）≥ 0满足某些假设时,我们证明存在临界常数a*>0使得e（a）存在极小元当且仅当0<a<a=‖Q‖22,这里Q>0是如下方程的唯一径向对称正解:-ΔQ+Q-（∫R4Q2（y）/|x-y|2dy）Q=0,Q∈H1（R4）.进一步地,通过研究带余项的Hartree型Gagliardo-Nirenberg不等式,我们也证明当a↗a*时e(a 的极小元满足:如果V（x）的所有全局极小值点均在区域Ω的边界上,则极小元的质量集中在Ω的边界附近;如果V（x）在区域Ω的内部存在最平坦的全局极小值点x0,则极小元的质量集中在Ω的内点x处.第四章将针对旋转势阱中的二维吸引力作用下玻色-爱因斯坦凝聚（简称BEC）的基态现象,分析如下复值质量临界泛函问题:eF（a）:=inf{u∈’H,‖u‖22=1}Fa（u）,其中Gross-Pitaevskii能量泛函Fa（u）定义如下Fa（u）:=∫R2（|▽u|2+V（x）|u|2）dx-a/2∫R2|u|4dx-Ω∫R2x⊥·（iu,▽u）dx,u∈H.这里Ω>0描述冷原子势阱V（x）≥0的旋转速度,a>0表示冷原子之间的相互作用强度,x=（x1,x2）∈R2,x⊥=（-x2,x1）且（iu,▽u）=i（u▽u-u▽u）/2.对于一般的位势函数V（x）,我们证明存在临界速度0<Ω*:=Ω*（V）≤∞使得:对于任意0≤Ω<Ω*,eF（a）存在极小元当且仅当0<a<a*=‖w‖2,这里w>0是如下方程的唯一径向对称正解:Δw—w+w3=0,w e H1（R2）.进一步地,对于一类特殊的位势函数V（x）,应用w的非退化性以及爆破分析,我们也分析当0<Ω<Ω给定且a↗a*时极小元的极限行为。