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本文主要考虑Landau—Lifshitz—Maxwell方程的解的存在唯一性、正则性、奇性分析以及有限时刻爆破解的存在性等几个方面．
Landau—Lifshitz方程具有鲜明的物理背景和深刻的物理意义．我们知道磁性是物质的基本性质也是物理学研究的重要内容之一．在居里温度或Neel温度之下，许多介质具有磁化现象，称之为铁磁介质．Landau和Lifshitz于1935年[72]研究铁磁体的磁畴壁运动时首次提出磁化运动方程(即Landau—Lifshitz方程，也称为铁磁链方程)，这是研究磁化现象的最有用的工具．就像Navier—Stokes方程在流体力学中一样，Landau—Lifshitz方程在铁磁物质的磁化理论中扮演了极为重要的角色，成为研究的基石．
Landau—Lifshitz方程也具有重要的数学理论研究价值．它与几何分析以及其它著名方程密切相关，比如调和映照及其热流，Schodinger流以及Ginzburg—Landau方程．Landau—Lifshitz方程的部分正则性与调和映照及其热流极为相似．解的奇点集的研究属于偏微分方程的解的奇性分析范畴，它是人们特别关心的问题．同时，也可以用来分析和解析铁磁介质的磁化机理．例如，解的奇性结果可以解析铁磁体在磁化过程中的缺陷，对铁磁体元件的设计具有特别的指导意义．因此，Landau—Lifshitz方程是一个非常有意义而难度极大的研究课题．随着实际的需要以及非线性偏微分方程理论研究的发展，Landau—Lifshitz方程引起了国际上许多物理学家和数学家的关注，并作了大量的研究．
本文共分六章，
第一章介绍相关的物理背景以及数学研究进展。
第二章简单介绍文中要用到的一些基本知识。
第三章研究了一维具有周期初值条件的Landau—Lifshitz—Maxwell方程的整体光滑解的存在唯一性．首先利用差分微分方法证明了逼近问题的局部解的存在性，接着对逼近问题建立整体时间T的估计和关于系数∈的一致先验估计，得到逼近问题的整体存在性，然后令系数∈趋于零得到原问题的整体光滑解的存在性，最后证明了整体光滑解的唯一性．主要有以下的创新点：
(i)．在证明一致先验估计时，我们成功地运用了Zhou，Guo和Tan在[119]中首次提出的球面上活动标架的办法，即{Z，Zx，Z×Zx}构成R3的基底．活动标架的应用简化了证明，而Guo和Su在[45]中并没有使用这种办法．同时，我们得到一些不同于[45]的先验估计(见本文该章第3.3节)；
(ii)．虽然我们使用[119]的球面活动标架法，但是我们的证明更加简化，这体现在，我们同时得到关于整体时间T的估计以及关于粘性系数∈的一致先验估计．同时，我们还需要考虑关于磁场的估计；
(iii)．对比[60]，我们考虑了交换场，并利用差分微分法利得到局部解的存在性(在[60]中并没考虑交换场)．
第四章研究了二维紧致无边黎曼流形上的Landau—Lifshitz—Maxwell方程解的部分正则性。这一章主要证明了该方程存在整体弱解，在去掉至多有限个奇点后该弱解是正则的，也即是得到几乎光滑解(也称为Struwe解)．对于二维问题，这个结果是最优的．我们首先利用Leray—Schauder不动点定理证明局部光滑解的存在性；然后建立先验估计；接着证明当初值光滑时几乎光滑解是存在的；最后利用光滑函数逼近一般初值，证明了对于一般初值问题几乎光滑解的存在性．
本章的创新点之一就是利用Leray—Schauder不动点定理证明了局部光滑解的存在性，由于Landau—Lifshitz—Maxwell方程不是强抛物方程组，所以不能采用[38]和[89]中的办法。同时，由于Landau—Lifshitz方程的耦合以及磁场的散度非零，我们也不能直接使用[108][109]中研究Maxwell方程所采用的不动点办法．但我们还是建立了适当的估计(见第4.3节)，最后可以应用Leray—Schauder不动点定理．同时，我们去掉了[89]中关于磁场H的最大模以及L2模假设，给出了适当的先验估计。
第五章在第四章的基础上研究了二维紧致无边黎曼流形上Landau—Lifshitz—Maxwell方程长时间行为并作奇性分析．我们得到时间序列{tm)，当tm→+∞时，(Z（·，tm)，H（·，tm))在某种意义下弱收敛到(Z∞，H∞)，并且在去掉至多有限个奇点后这种收敛还是强收敛的，同时(Z∞，H∞)满足带位势的调和映照方程．在奇性分析方面，我们首先证明了在有限奇性时刻会发生Bubble现象(即能量集中现象)，在每个奇点处只有有限个Bubble，我们认为，磁场向量并不影响Bubble的产生．其次，我们得到有限时刻的能量恒等式，表明爆破前的能量等于爆破后弱解的能量与产生的Bubble的能量之和．这里，我们采用的方法是Lin—Wang[76]在研究调和映照热流时的办法，主要是通过构造p.S．序列来分析能量集中的过程。
第六章研究三维紧致无边黎曼流形上Landau—Lifshitz—Maxwell方程有限时刻爆破解的存在性．首先我们利用Galerkin方法证明了局部光滑解的存在性；接着建立能量估计以及时间层上单调不等式；然后得到Z的Holder连续模估计；最后利用反证法证明对于适当的初值，Landau—Lifshitz—Maxwell方程存在有限时刻爆破解．这至少给出了爆破解的实例。