时滞微分方程在物理学、机械工程、生物医学、化学反应动力学、经济等众多科学领域的建模中一直扮演着重要的角色.然而实际上我们几乎无法解析求解这类方程.那么,从方程本身的特点出发,研究其解的性质以及高效精确的数值算法则变得尤为重要.在第一章,我们首先简要地介绍延迟微分方程的应用背景以及与本文工作密切相关的理论和数值算法方面的研究现状,其次概述了本文所研究的主要内容.在第二章,我们研究了二阶非线性时变延迟微分方程的指数稳定性,推导给出该问题指数稳定的充分条件.在此条件下,该问题可以保持其对应的常微分方程初值问题的指数稳定性.最后,我们通过一个数值算例验证该条件的正确性.在第三章,我们考虑了一类二阶离散型延迟微分方程的边值问题.本章基于广义St(?)rmer-Cowell方法构造了一类求解该问题的数值格式,然后分析了该格式的唯一可解性和非线性数值稳定性,也证明了在适当的条件下该格式的收敛阶等于其相容阶.我们通过几个数值算例验证了该格式的精度和效率,同时将该二阶问题转化为等价的一阶系统并利用广义向后微分格式来求解,最后数值结果表明,本章所提出的方法是具有优势的.在第四章,我们考虑了一类二阶分布型延迟微分方程的边值问题.本章基于广义St(?)rmer-Cowell方法和复合求积公式构造了求解该问题的数值格式并分析了其唯一可解性,同时证明了在一定条件下,该格式是稳定的,并且其收敛阶等于广义St(?)rmer-Cowell方法的相容阶和复合求积公式的收敛阶两者之间较小者.最后,我们给出几个数值算例来验证数值格式的精度、收敛阶和稳定性.在第五章,块边值方法被拓展用来求解具分段常变元的微分方程初值问题.本章首先简单介绍了块边值方法,然后构造拓展的块边值方法并且证明了其收敛性.随后,我们详细地分析了拓展的块边值方法的线性稳定性并给出了该格式的稳定性条件.最后,通过数值算例,我们验证了文中理论结果的正确性.在第六章,我们简单总结了一下本文的主要工作,然后提出了一些有待进一步研究的问题.