积分方程兴起于科学和工程领域中遇到的一些问题.许多初值问题和边值问题都可以转化为积分方程进行求解.积分方程种类繁多,不同类型的方程需要使用不同的求解方法.本文考虑第一和第二类弱奇异Volterra积分方程,在解的弱正则性假定下,研究这两类积分方程的高精度算法,所用工具为函数的Puiseux级数展开式.函数的Puiseux级数展开式是Taylor公式的推广,能够准确地刻画函数在奇异点处的性态.基于函数的Puiseux级数展开和奇异积分的高效算法,通过对积分方程的既有算法修改完善,得到了Volterra积分方程的有效求解算法.全文共分为五章.第一章简单介绍了 Volterra积分方程的发展历程,回顾了求解奇异Volterra积分方程各种方法,并给出了本文的研究目标和计划安排.第二章给出了一些预备知识,包括Laplace变换与Laplace反演变换,函数的Puiseux级数展开式,复合Gauss-Legendre求积公式等.这些内容是求解弱奇异Volterra积分方程必需的基本知识.第三章求解Abel积分方程.首先给出了基于Laplace变换和Laplace反演变换的精确解表达式.其次,由函数的两种不同Puiseux级数展开式分别给出了 Abel积分方程的Puiseux级数解.最后在弱正则性条件下,使用奇异积分方法得到了 Abel积分方程的高精度数值解.数值算例验证了这些方法具有双精度的计算效果.第四章研究第二类线性弱奇异Volterra积分方程.使用Laplace变换得到方程解的象函数.通过象函数在无穷远点的Puiseux级数展开式,设计了一种新型的Laplace反演算法.可以高精度地求解线性Volterra积分方程,数值算例验证了方法的有效性.第五章基于Puiseux级数展开法对非线性弱奇异Volterra积分方程进行研究.通过对函数的Puiseux级数展开式进行迭代,得到方程的解在零点的Puiseux级数有限项截断.该截断的作用体现在两个方面.一是通过分析该展开式,有可能得到方程的精确解;二是利用该展开式,结合数值积分方法,可以构造非线性Volterra积分方程的有效算法.算例表明这些方法是可行的.