谱方法是一类求解微分方程的数值方法,广泛应用于流体动力学、量子力学、材料科学、生态学等领域。我们在数值求解依赖于时间的偏微分方程时,一般会在空间方向上运用谱方法,在时间方向上采用有限差分法。由于非线性项和刚性问题的存在,时间方向上的计算大多数仅限制在二阶时间精度上,这样即使在空间方向上能够达到谱精度,时间方向上的低阶精度也会影响数值解的整体精度。为了提高时间方向上精度,我们将详细介绍指数时间差分四阶龙格库塔方法(ETDRK4)。这种方法能够快速而又准确地解决一些偏微分方程,并且允许我们在实际计算中取较大的时间步长。同时,我们也将引入半隐式方法,旨在相同条件下与ETDRK4方法做比较。本文的第一章首先简要介绍谱方法,接着对谱方法,半隐式方法和指数时间差分方法的研究现状进行了介绍,最后提出本文研究的主要内容。第二章主要回顾了Chebyshev谱方法和Fourier谱方法,涉及相应的定义、性质和微分矩阵的计算方法等等,并介绍了时间离散格式中的半隐式方法和ETDRK4方法。第三章和第四章用前面所讨论的方法对一维的Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程进行数值模拟。从误差、时间收敛阶和CPU时间三个方面对不同的时间离散格式进行比较,并进行相应的有效性分析。此外,为了能够在实际计算中取到较大的时间步长,我们引入了Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程稳定的一阶半隐式格式,讨论了一阶半隐式格式的稳定性及稳定性参数对解精度的影响。最后将两类谱方法从一维问题推广到二维问题的求解中。第五章对全文所涉及的主要内容进行了总结和展望。