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本文考虑如下p-调和方程边值问题{△(|△u|p-2△u)=|u|q-2u+f(x)在Ω中u∈w2,p0(Ω)多解的存在性.这里Ω是RN中的有界光滑区域；p＞1为常数；p＜q＜p*；p*=Np/N-2p为嵌入W2,p0(Ω)→Lp(Ω)的临界Sobolev指数；W2，p0(Ω)为标准的Sobolev空间；△=n∑i=1()2/()x2i为N维拉普拉斯算子；f(x)为(W2,p0(Ω))*空间中的已知函数；(W2,p0(Ω))*为W2,p0(Ω)的对偶空间.
本文主要通过对已知函数f(x)给出不同的假设条件，在不同的假设条件下利用Ekeland变分原理与山路引理，得到问题(1)多解的存在性结果.本文结构如下：
第一部分为引言，介绍与本文有关的p-调和方程的研究背景和本文主要讨论的内容，并叙述了本文的主要结果.
第二部分，首先我们在假设(1.6)下利用Ekeland变分原理证明了问题(1)第一个解的存在性.然后在此基础上利用逼近的方法给出了定理1.1的完整证明.
第三部分，首先我们验证了(1)所对应的变分泛函I(u)满足(PS)紧性条件.然后在假设(1.6)下应用山路引理得出了问题(1)第二个解的存在性，从而完成了定理1.2的证明.
第四部分，我们验证了极小问题(2.16)是可达的.