凸性理论（凸集理论和凸函数理论）在数理经济、对策论、工程管理科学以及在最优化理论中起着非常重要的作用，主要因为凸函数在非线性规划中有许多很好的性质。由于凸函数在数学规划中的重要作用，极大地推动了凸分析的发展，但是，具有凸性的函数相对来说是较少的，因此，人们对凸函数的各种推广形式即广义凸函数进行了研究，使得它既保持了凸函数良好的性质，又比凸函数在实际应用中的范围更加广泛。本文将凸集推广为预不变凸集，凸函数推广为预不变凸函数，研究了凸分析中相应性质的推广。对一类特殊的预不变凸集，通过对其中函数的限定，克服了因缺乏凸性所带来的困难，得到了两个具有相交次微分的预不变函数只相差一个常数的结果。数学是一门综合性比较高的学科，本文不仅在凸性的基础上给出了很有意义的推广，而且将其与次微分结合在一起给出了良好的结果。研究凸函数的意义不仅在于此，本文还将其与概率联系在一起，研究了凸函数的概率特征。将其推广到强凸函数以及相对凸函数的概率特征，并希望在此基础上可以进行推广得到更好的有关凸性与概率之间关系的结论。