【摘 要】
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近年来,拟线性奇异方程在很多物理领域起到了很重要的作用.例如,它是等离子体物理学中的超流体薄膜方程;它描述了超短激光的自沟道效应,受到许多作者的关注.本文将利用变量替换方法和Schauder不动点定理研究一类带有奇异项的拟线性方程正解的存在性和唯一性,以及利用扰动方法得到次临界情况下一类拟线性奇异方程正解的多重性.本文分为三章.第一章是绪论.第二章,主要讨论下面方程正解的存在性和唯一性,Ω(?)R
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近年来,拟线性奇异方程在很多物理领域起到了很重要的作用.例如,它是等离子体物理学中的超流体薄膜方程;它描述了超短激光的自沟道效应,受到许多作者的关注.本文将利用变量替换方法和Schauder不动点定理研究一类带有奇异项的拟线性方程正解的存在性和唯一性,以及利用扰动方法得到次临界情况下一类拟线性奇异方程正解的多重性.本文分为三章.第一章是绪论.第二章,主要讨论下面方程正解的存在性和唯一性,Ω(?)R≥ 3)是具有光滑边界的有界区域.我们使用的主要方法是扰动方法,Schauder不动点定理以及变量替换方法.我们得到的主要结论:假设γ ∈(0,1),则上述方程存在唯一的解u ∈ C2(Ω)∩H01(Ω).第三章讨论下面奇异拟线性方程解的多重性.这里Ω(?)RN(N≥ 3)是具有光滑边界的有界区域,0 ∈ Ω 2*=2NV/(N-2),γ ∈(0,1),λ是一个正参数,△4u=div(|▽u|2▽u).上述方程因为奇异项的存在,方程对应的泛函不可微.本章采用扰动的方法,先讨论扰动问题解的多重性,然后对扰动参数取极限,得到原方程的解.我们得到的主要结论是:假设γ ∈(0,1),则存在λ>0,使得对于任意λ ∈(0,λ*),上述问题在W01,4(Ω)中有两个不同的解.
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