本文主要研究了non-aliquot数的估计.设n是正整数,σ(n)为n的所有正因子之和.对于一个正整数n,如果存在正整数m使得σ(m)-m=n,则称n为aliquot数,反之则称n为non-aliquot数.对于偶数2n,如果存在不同的素数p和q,使得2n=p+q,则2n+1=σ(pq)-pq.因此2n+1是一个aliquot数.令Na(x)={1≤n≤x:n是一个non-aliquot数},|Na(x)|表示集合Na(x)的基数.Ea(x)={1≤n≤x:n是一个偶non-aliquot数}.众所周知,几乎所有的偶数都能表示为两个不同素数之和,因此几乎所有奇数都是aliquot数.因此|Na(x)|=|Ea(x)|+o(x)≤1/2x+o(x).　　 1973年,P.Erd(o)s估计了比x小的non-aliquot数的下界.P.Erd(o)s证得对足够大的x,存在正常数c使得|Na(x)}≥cx.2005年,Banks和Luca用初等数论方法估计了比x小的non-aliquot数的下界,得到|Na(x)|≥x/48(1+o(1))=0.020833...x,x→∞.　　 本文继续上述研究工作,运用不同的方法,给出了non-aliquot数更好的下界,改进了结果,主要结果如下:　　 特别地,作为推论,我们得到若令M=23×32×52×7×11×13×17,则有g>0.056.因此|Ea(x)|≥0.056x+o(x).