【摘 要】
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设X,Y是Banach空间,如果映射f:X→Y满足（?）.则称f是从X到Y的粗等距.1985年,Lindenstrauss和Szankowski开始研究满的粗等距f:X→Y,并给出近乎完美的结果.三十多年来,由于非满粗等距的本质性难度,关于非满粗等距的研究几乎是一片空白.本文率先考虑了非满粗等距在大尺度意义下的等距逼近和u-弱稳定的问题.因此,本文考虑的问题是前人未曾关注的.为了探索这方面问题的解
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设X,Y是Banach空间,如果映射f:X→Y满足（?）.则称f是从X到Y的粗等距.1985年,Lindenstrauss和Szankowski开始研究满的粗等距f:X→Y,并给出近乎完美的结果.三十多年来,由于非满粗等距的本质性难度,关于非满粗等距的研究几乎是一片空白.本文率先考虑了非满粗等距在大尺度意义下的等距逼近和u-弱稳定的问题.因此,本文考虑的问题是前人未曾关注的.为了探索这方面问题的解决方法,我们考虑了一些特殊的Banach空间（p-一致凸空间、Hilbert空间和Lp空间）在这些问题中的具体表现形式和解决途径.方法上,有别于Lindenstrauss、Szankowski和Dolinar用序列极限来处理等距逼近,本文不仅用序列极限处理粗等距的逼近问题,还用自由超滤子极限来考虑粗等距的弱稳定性问题,具有一定的创新性.内容上,本文的结果是全新的.本文的结果如下:（ⅰ）Y是Hilbert空间时,若（?）,则f存在线性等距的逼近U;（ⅱ）Y是具有指数p凸性模的一致凸空间时,若（?）,则f存在线性等距的逼近U.由于Lp（1<p<∞）是指数q（q=max{2,p}）凸性模的一致凸空间,作为推论,我们还得到了Lp空间的粗等距存在线性等距逼近的充分条件;（ⅲ）当Y是一般Banach空间时,若（?）,则f存在等距逼近;（ⅳ）若粗等距映射f满足弱稳定性公式,则（?）是Φ:X→Y**的等距;（ⅴ）在超滤子收敛意义下粗等距的稳定和弱稳定的表示.即f是u弱稳定的当且仅当（?）是等距.由于Lp（1<p<∞）空间或Hilbert空间的性质,我们还得到当Y是Lp（1<p<∞）空间或Hilbert空间,粗等距f是u-弱稳定的两个等价的充要条件:（1）（?）是线性等距;（2）（?）存在.
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