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在研究生物种群的长期演化行为以及最优调控问题的时候,往往都会基于一定的假设,建立相应的生物种群数学模型。这样一来,就把种群问题的研究转化为数学问题分析。应用较为完善的数学工具,解决的问题就更为广泛。这种研究手段能充分发挥数学理论库的优势。另外,某些预测结构是现场分析和实验研究所得不到的结论。所以,数学建模在分析生物动力学中发挥着不可忽略的作用。相比连续结构模型,离散结构种群模型更为自然,更为切合生态系统和数据记录实际情况。自1945年H. Leslie提出一类非常重要的离散种群模型以来,很多学者把注意力转移到离散生物种群模型领域。研究离散结构的种群模型一方面可以分析种群的长期演化行为,另一方面可以根据种群的变化规律,制定科学的资源开发管理办法,比如怎样捕捞、怎样砍伐才不会影响资源的可持续发展,又能够得到最佳的经济利益。 本文主要讨论三类离散尺度结构的种群模型,分别是具有线性形式、非线性形式的矩阵模型和斑块模型。前者重点研究模型的平衡态存在性、稳定性条件等,后者主要讨论了模型解的有界性和种群长期演化行为。应用矩阵理论、数值分析等工具,得到一些新的结论,为实际应用提供了可靠的理论依据。 第二、三章主要讨论线性形式、非线性形式下的矩阵模型。第二章提出一类广义Leslie模型,从不同的角度,应用不同的方法分析了平衡态及其稳定性等问题。第三章引进一类较为典型的非线性繁殖力函数,体现种群内部的个体竞争或密度制约,应用矩阵特理论等知识,得到了平衡态的存在性和稳定性条件。最后给出具体实例,用Matlab等软件进行了数值模拟,展示了种群长期的演化发展趋势。 第四章考虑的是同一种群个体生活在两个有通道连接的斑块环境中,每个斑块中的种群个体按照尺度分为三个小组,其中第一小组无繁殖能力。该模型在斑块间考虑扩散情形,在同一斑块内的各组个体考虑正常生长、迟滞生长和跨组生长等,证明了种群分布的有界性,给出了种群零平衡态存在的条件。