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线性回归模型是现代统计学中最重要的模型之一。从理论上和应用上来看,线性回归模型中最基本的问题是估计回归参数。根据G—M定理,我们知道最小二乘估计是最好的估计并且有着广泛的应用。
但是,随着容许性理论的发展和对含有较多自变量的大型回归问题的研究,人们发现在有些情况下最小二乘估计变得很坏。因此人们开始寻找新的估计来代替最小二乘估计。从减小回归系数的最小二乘估计的均方误差出发,人们提出了很多重要的估计如岭估计、Stein估计和Liu估计等。在这些估计中,Stein估计是最简单、提出最早的一种有偏估计,在有偏估计发展史上占有重要地位。
在第三章里,从考虑一类线性估计的最小广义均方误差出发,我们提出了一种新的Stein估计。在均方误差(MSE)准则下,得到了 优于最小二乘估计的充分条件。接着我们介绍了一种新的评价估计优良性的准则——Pitman准则,分析了Pitman准则的合理性后,我们也得到了在此准则下 优于最小二乘估计的充分条件。
Bayes方法已经渗透到统计学的各个领域,成为统计学的重要组成部分。在不同的先验分布下,我们得到了线性回归系数的Bayes估计,并且证明了在Pitman准则下Bayes估计是一致地优于最小二乘估计的。在 已知时,Stein估计是一种Bayes估计,这说明了我们提出的新估计 也是某个先验下的Bayes估计。