金融衍生产品的定价是近几十年来金融学研究的重要问题之一,推动了全球金融市场的发展。期权作为其中一种金融衍生工具,对其进行定价研究则变得尤为重要。自Black-Scholes期权定价理论问世以来,基于Black-Scholes模型的欧式期权、美式期权、亚式期权和障碍期权等各类期权定价均得到了深入的研究和发展。随着研究的不断深化,标的资产连续变化和常数波动率的假设,不再适用于实际金融市场的变化。为了更好地描述标的资产的价格波动情况,出现了一系列的替代模型,如带跳扩散模型、切换模型和随机波动率模型等。因此,在本文中,我们围绕带跳期权定价问题,研究了带跳扩散模型、带跳随机波动率模型和带切换跳扩散模型的数值求解。具体内容如下:当标的资产服从带跳扩散过程时,欧式期权价格满足一个偏积分微分方程。由于方程中包含非局部的积分项,这给模型的数值计算带来了一定的困难。通过采用隐显方法用于时间离散,既可减少计算量,又能保证数值格式的稳定性。我们在已有研究的基础上,采用变步长隐显二阶向后差分方法进行时间离散,证明了此方法的稳定性、相容性和收敛性。在空间上,采用二阶有限差分方法进行离散,由于初值函数的非光滑性,使得数值解的收敛率在执行价格附近会产生掉阶现象。为此,我们采用了空间局部网格细化策略。此外,针对美式期权所产生的线性互补问题,通过引入惩罚参数ε将问题转化为偏积分微分方程再求解。最后,数值结果验证了理论分析的正确性。当标的资产服从带跳扩散过程,且标的资产的波动率随机时,欧式期权价格满足的带跳随机波动率Bates模型是一个二维偏积分微分方程。我们结合空间高阶紧致格式和时间分裂格式,得到Bates模型的时间分裂高阶紧致格式,并表明此格式可以达到空间四阶精度和时间二阶精度,并分析了时间分裂高阶紧致格式的稳定性。数值结果验证了该方法的有效性。当标的资产服从带切换跳扩散过程时,欧式期权价格满足的数学模型是一个偏积分微分方程组,其求解的计算量是非常大的。我们采用隐显二阶向后差分方法进行时间离散,并证明此时间半离散格式是L2稳定的,且具有二阶精度。在空间方向上,采用四阶紧致有限差分格式进行离散。由于初始函数的不连续性,使得其数值结果在空间上达不到四阶精度。为此,在执行价格附近采用了局部网格细化策略,使精度可达到四阶。最后,数值结果验证了理论结果的正确性。最后,针对标的资产服从的带切换和跳的扩散过程,考虑了一般带Markov 切换和跳的随机微分方程的数值解法。在方程的系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件或局部Lipschitz条件和单边Lipschitz条件下,证明了方程解的存在唯一性,并获得了单边Lipschitz条件和全局Lipschitz条件解的p(p ≥2)矩有界性。此外,证明了当漂移项满足单边Lipschitz条件和多项式增长条件、扩散项和跳跃项系数满足全局Lipschitz时向后Euler格式强收敛率任意接近1/2阶。数值算例进一步验证了理论分析结果的正确性。