给定一个2维定向黎曼流形M到单位球面Sn的一个等距浸入f：M→Sn(C)Rn+1，我们在本文中导出了f可G-形变的充分条件和必要条件。 为了导出f是可G-形变的必要条件，在§2.3中，首先假设f的G-形变(-f)存在，然后利用可积条件d2{(-f)}=0(-f)ieα推出了下面的定理。定理1设(M，g=〈·，·〉)是一个2维定向黎曼流形，f：M→Sn()Rn+1为等距浸入，J是M上的黎曼度量g所确定的近复结构。如果在M上f有处处不等G-形变(-f)(即：(V)p∈M，f(p)≠(-f)(p))，那么f(M)为Sn的全测地子流形或者在M上存在一个整体定义的单位向量场e，满足ee(f)=-f(De(DJeJe)-〈DJeJe，e〉DJeJe)⊥=0其中(·)⊥表示向量(·)在Sn中的法分量，D为Rn+1上由标准度量所确定的Levi-civita联络。 在§2.4中，我们重点讨论f的共形G-形变，并得到了下面的结论。定理2设(M，g)为2维定向黎曼流形，f：M→Sn为非全测地的等距浸入。如果f有处处不等的共形G-形变(-f)(定义同上)，那么在M上存在一个整体定义的单位向量场e与一函数θ：M→R，使得(-f)=cosθf+sinθf*(e)(Je)(θ)=(1+e(θ))(2+e(θ))(1±cosθ)(≠)sinθee(θ)=0其中J的意义同上。 为了寻找f是可G-形变的充分条件，我们利用定理1的证明方法，得到了如下的定理3。 定理3设(M，g=〈·，·〉)是一个2维定向黎曼流形，f：M→Sn(C)Rn+1为等距浸入，{eα}α=3，…，n为f(M)在Sn中的单位正交法标架场，J和D的意义同上。如果在M上存在一个整体定义的单位向量场e和一函数θ：M→R，令{e1=e，e2=Je}，其对偶记为{ω1，ω2}，使得f(M)在Sn中的第二基本形式Ⅱ=h22αω2(X)ω2eα≠0并且(1+e(θ))(cosθ-〈DJeJe，e〉sinθ)≠0那么f可G-形变，且(-f)=cosθf+sinθf*(e)为f的一个G-形变。