离散三角变换与Toeplitz系统在科学和工程计算中应用非常广泛，如快速富里叶变换、离散正弦变换已经构成信号处理的基本理论，而信号处理中反馈数字滤波器的滤波系数、阵列天线的雷达散射截面分析、时间序列分析中固定自返模式的未知参数、控制论中的最小实现问题等都离不开Toeplitz系统的求解。 因此，本文主要研究离散正弦变换的浮点快速算法、带尺度离散正弦变换算法与整数实现算法，Toeplitz系统的快速求解与并行求解方法，以及利用小、预条件共轭梯度方法实施图像超分辨问题。内容主要有： 一、研究了基于提升格式的整数到整数矩阵变换的相关代数性质，提出了一种浮点离散正弦变换（DST）快速算法，在此基础上设计出了带尺度的整数DST（IntDST）快速算法，作为应用，本文得到一种带尺度整数离散余弦变换（IntDCT）快速算法，所需的运算次数与国际上最佳算法相同，但是克服了变换点数受到严格限制的缺陷。 二、研究了Toeplitz矩阵在双正交小波变换下的性质。在一定的假设前提下，证明了Toeplitz矩阵可以变为近似带状正定的Toeplitz矩阵，从而得到了一种算术运算量仅为O（n）快速求解方法，比现有最低复杂度O（nlogn）的快速算法，有运算量级的减少。 三、研究了一般Toeplitz系统的一种快速并行算法，并行复杂性比基于Levinsion格式的并行算法存在运算量级的减少；特别地，对近似三对角Toeplitz系统，本文设计一种具有线性加速比的并行算法。 四、选取了图像处理中一个热门、具有一定难度的图像超分辨问题，利用小波、Tikhonov正则化与预条件共轭梯度法的结合，得到了一种高精度、高效率的图像超分辨方法，在主要技术指标上比现有方法有一定程度的提高。