在本文中,我们利用变分方法研究了三类非线性椭圆问题。在第二章,对于强不定问题,我们证明了一个新的喷泉定理,即第二章中的定理2.2。我们去掉了已有文献中相关喷泉定理关于变分泛函的τ-上半连续性条件,所以该喷泉定理在处理一些非线性项变号的椭圆问题所对应的强不定问题时亦是有效的。作为一个简单的应用,本文我们研究了如下的椭圆型Schrodinger方程:(?)其中1<q<p/(p-1)<2<N-2*=(?),位势函数V(x)和权函数g(x)都是变号的。利用我们证明的喷泉定理,即本文的定理2.2,证明了方程(P1)有无穷多解。在第三章中,我们还研究了一类带周期位势的Schrodinger方程,简单地看,这类方程具有如下形式:其中,位势函数V(x)关于x1,...,以是1-周期的,2<r<q<2*.若非线性项中的低阶扰动足够小,即,λ>0足够小时(对更一般的非线性项可参看第三章中的条件(f1)-(f5)及注3),我们证明了方程(P2)无穷多解的存在性。首先,我们使用新的技巧分析了方程(P2)变分泛函的(PS)序列的结构。然后,由于τ-上半连续性条件的缺失带来的困难,我们使用新的方法证明了形变引理。在第四章中,我们使用约束变分方法研究了如下的p-Laplace方程的非线性特征值问题:-△pu + V(x)|u|p-2u = μ|u|p-2u + a|u|s-2u,x∈Rn,(P3)其中p€(1,n),s=p+p2/n,a≥0和μ∈R为参数,负位势数数V(x)是制的利用约束变分方法,我们证明了:存在临界参数a*使得当0≤a<a*时,方程(P3)存在基态解,而当a ≥ a*时,方程(P3)不存在基态解。然后,通过能量估计方法,我们讨论了当a从下方逼近a*时,方程(P3)基态解的渐近行为。特别地,当位势函数V(x)是"多项式"型时,我们给出了(P3)的基态解的精确爆破率。该结果将已有p = N = 2时相关结果推广到了一般情形。