对流扩散方程是一类基本数学物理方程,它可以描述流体流动中质量、能量、热量等输运过程以及某些化学反应扩散过程等众多物理现象.因此在许多科学和工程领域中,都需要求解非线性对流扩散方程的初边值问题.在求解对流占优的对流扩散方程时,标准Galerkin有限元格式是不稳定的.为了解决数值不稳定的问题,众多的解决方法中,部分迎风格式具有简单易行、精度较高的优点,且格式保持了原问题的极值原理和质量守恒原理.在研究、改进数值格式的同时,自适应有限元方法通过已知数据,如给定的方程系数和求得的数值解等,估计数值解的误差(称后验误差估计),并用之生成或调整网格,以达到高效求解的目的.该文对对流扩散方程的数值解法进行了研究,对线性和非线性对流扩散方程,分别构造了基于线性插值的一类部分迎风格式,给出相应的先验误差估计、后验误差估计和自适应算法.数值例子证明了方法的有效性.主要成果如下:1.对非线性对流扩散方程,构造了两种部分迎风有限元格式,证明了它们满足离散极值原理,并对收敛性做了证明.另外,讨论了一种提高时间方向上误差精度的三层格式.2.对线性对流扩散问题的部分迎风格式,利用极值原理简便地证明了数值解的L<∞>(O,T;L<∞>(Ω))模误差估计和收敛性.另外,构造了这种格式的显式后验误差估计器,证明了误差估计器和真实误差的上下界定估计,并以此估计器为基础设计了自适应的方法.3.对非线性对流扩散方程的部分迎风有限元格式,给出了显式后验误差估计器,证明了真实误差被后验误差估计器上下界定.