Smarandache函数，Smarandache原函数，Dirichlet除数函数，Euler函数以及一些特殊的函数和数列在数论中占有很重要的地位.研究它们的均值性质以及彼此之间的相互关系是一个很有意义的课题.许多著名的数论难题都与之密切相关.因此，在这一领域内取得任何实质性的进展都将会对数论的发展起到重要的推动作用! 本文研究了这些数论函数的均值性质和混合均值性质，通过研究函数之间的关系，建立了几个方程，并对它们进行求解，给出了这些方程的全部整数解.具体来说，主要成果包括以下几个方面： 1.研究了一类新的平方补数函数6(n!)的均值估计问题，并给出了ln(6(n!))的一个渐近公式. 2.对于第82个Smarandache问题，利用初等数论的方法研究了k次根的整数部分与Euler函数的混合均值问题，并给出了两个渐近公式. 3.研究了由A.W.Vyawahare定义的近似伪Smarandache函数的性质，利用解析方法研究了近似伪Smarandache函数与Dirichlet除数函数,Euler函数的混合均值，得到了两个渐近公式；同时利用初等方法研究了近似伪Smarandache函数与简单数相关的均值性质，从而给出两个渐近公式. 4.通过研究Smarandache原函数的性质,建立了包含一类自然数乘积之和，自然数立方和与Smarandache原函数之间的两个方程，同时通过对Lucas数性质的研究，建立了包含Lucas数和Smarandache原函数的方程，利用初等方法研究了这些方程的可解性，并给出了这些方程的全部正整数解.