有限体积元法,又称为广义差分法,自1982年被李荣华教授提出以后,由于其计算量少,程序易于实现,而且能够保持物理量的局部守恒性,故其在计算流体力学、固体力学及电磁场等领域有着广泛的应用。本文首先介绍了四种求解一维椭圆问题的高次有限体积元法,亦即基于局部L2投影的方法(两种方法)与基于从Ch0到分片常数的特殊映射的方法(两种方法)。令Ω=(xL,xR)是有界区间,考虑两点边值问题：这里,a,β,γ,f均为定义在Ω上的实值函数,并且现在,我们在子区间ω=(ωL,ωR)上积分上式,可得特别地,当ωR=xR时,由(1b)可得如果uh在有界子区间(ωL,ωR)上满足(2a),我们就称其为第Ⅰ型有界控制元。相应地,如果uh在有界子区间(ωL,ωR)上满足(2b),则称其为第Ⅱ型有界控制体积元。我们的数值方法的基本因素是线性算子(?)h:Phr→L2(Ω),并且满足下述的稳定性一致性假设：问题(1a)-(1b)的离散的变分形式描述可以定义如下：对h∈(0,1),寻找uh∈Shr=Phr∩H(Ω),s.t.这里双线性形式Bh：Hh2×Phr→R定义成我们给出了一些局部守恒方法,他们基于Shr上从Pr到pr-2(r≥2),或从Pr到Pr-1(r≥2且为奇数)的局部L2投影算子的方法。命题1令r≥2,Λh：Phr→Phr-2定义如下：则：(1)Λh:当α=r-1时(3)成立,当σ=0时(4)成立。(2)方法(5)是对偶单元为和的局部守恒方法,这里IJhh是兼有第Ⅰ型和第Ⅱ型的有界控制元。即：(3)解uh属于Shr∩C1(Ω)并且在xR处满足齐次Neumann条件。命题2令m∈N,r=2m,(?)h:pnr→Phr-1定义如下：则:(1)Λn:当α=r时(3)成立,当σ=1时(4)成立。(2)方法(5)是Shr上控制体积为的局部守恒方法,这里区间IJhh是第Ⅰ型有界控制元。即：我们定义了一个从ChO上的分片连续函数到分片常数的映射的特殊映射,并用它导出了Shr上的有限体积法(r≥2).令sR是[0,1]分划的节点,也即(?)0=0,(?)s1,(?)s-1<(?)s,j=1,…,s。命题3令r≥3,是区间[0,1]的分划的节点,并且则:(1)Λh:当α=1时(3)成立,当σ=0时(4)成立。(2)方法(5)是对偶单元为{{(xj-1h+(?)i-1,xj--h+(?)i)}i=1r=1}j=1Jh和的局部守恒方法,这里区间是第一型和第二型的有界控制元。即：(3)解uh属于Shr∩C1(Ω)并且在xR处满足齐次Neumann条件。命题4令n∈N,r=2rn,p={(?)i}i=0r是区间[0,1]的分划的节点,并且则:(1)Ah:当α=1时(3)成立,当σ=1时(4)成立。(2)方法(5)是Shr上控制体积为的局部守恒方法,这里区间IJhh是第Ⅰ型有界控制元.即：并且如果r∈{2,4,6}并且则方法(5)对下列的对偶单元是有限体积法.这里,后一个区间是第Ⅱ型有界控制元,IJhh是第Ⅰ型有界控制元.考虑Poisson第一边值问题：设Ω是矩形区域Ω={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d},Γ=(?)Ω为Ω的边界,f∈L2(Ω).对Ω做均匀矩形剖分Th节点集合Ωh={(xi,yj)|i=0,1,…,M;j=0,1,…,N},每个小矩形称为单元,记作K。我们将文[1]的方法直接推广到二维情形,问题(6)离散的变分形式描述可以定义如下：对h∈(0,1),寻找uh∈shr×Shr,s.t.这里双线性形式B定义成其中Qh=(?)h×(?)h经过尝试,发现行不通。最后借鉴文[1]对偶剖分的作法,将方法一和方法四推广到二维矩形网上的乘积形二次有限体积法(广义差分法)。对Ω做均匀矩形剖分Th,节点集合Ωh={(xi,yj)|i=0,1,…,M;j=0,1,…,N},每个小矩形称为单元,记作K,hx,hy分别为x,y方向的步长。h=max{hx,hy}.所有矩形单元边中点的集合记作Mh,所有矩形单元重心的集合记作Qh,Mh=Mh(?)Ω,Ωh=Ωh(?)Ω.再做Th,的对偶剖分,记作Th*,它由围绕节点M∈Mh的矩形域KM*,P∈Ωh的矩形域,Kp* Q∈Qh的矩形域KQ*组成。试探函数空间Uh取为相应于Th的乘积形lagrange二次有限元空间。检验函数空间Vh取为相应于对偶剖分Th*的分片常数空间。下面我们来定义由方法一和方法四推广得到的有限体积法的格式。求uh∈Uh使得：或等价的其中(?)KQ*,(?)KM*,(?)KP*是对偶单元KQ*,KM*,KP*的边界。经数值试验发现,由方法一推广的有限体积法是不可解的,而由方法四推广的有限体积法具有最佳的L2模误差收敛阶。