【摘 要】
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Domain理论是D.Scott在60年代末提出来的,它是函数式程序语言的指称语义模型.序结构和拓扑结构是Domain理论中两个重要的数学结构,一些特殊拓扑在一般偏序集上的研究中起着至关重要的作用.本文基于Domain理论的相关研究成果,讨论了s2-连续偏序集上稠密拓扑的基本性质;Scott拓扑的coherent性的充要条件;以及函数空间上Isbell拓扑和Scott拓扑一致性问题.具体内容如下:
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Domain理论是D.Scott在60年代末提出来的,它是函数式程序语言的指称语义模型.序结构和拓扑结构是Domain理论中两个重要的数学结构,一些特殊拓扑在一般偏序集上的研究中起着至关重要的作用.本文基于Domain理论的相关研究成果,讨论了s2-连续偏序集上稠密拓扑的基本性质;Scott拓扑的coherent性的充要条件;以及函数空间上Isbell拓扑和Scott拓扑一致性问题.具体内容如下:首先,我们定义了s2-连续偏序集上的本质拓扑和稠密拓扑,并讨论了这两类拓扑的一些性质,比如:紧性、分离性、sober性等,还得到了一个结果:B是一个s2-连续偏序集P的基当且仅当B是P所对应的稠密拓扑空间中稠密子集.其次,我们给出了弱良滤的基本概念,并验证了P.Johnstone给出的经典例子是弱良滤的而不是良滤的,也就是说,这个例子说明了弱良滤的dcpo不一定是良滤的;同时证明了在弱良滤的前提下偏序集P是coherent当且仅当对任意x,y∈P,↑x∩↑y是Scott紧的;最重要的是得到了一个很漂亮的结果:每一个Lawson紧的dcpo一定是coherent.然后,我们针对公开问题“对拓扑空间X和dcpo P而言,在P满足什么条件的时候,函数空间[X→P]上的Isbell拓扑和Scott拓扑是一致的?”进行了研究,得到以下结果:（1）对一个双完备的弱sober dcpo P,如果对任意的c-空间X,函数空间[X→P]上的Isbell拓扑和Scott拓扑是一致的,那么P一定是有最小元的L-dcpo;如果对任意的不可约c-空间X都有函数空间[X→P]上的Isbell拓扑和Scott拓扑是一致的,那么P一定是L-dcpo.（2）对拟连续UBC-domain P和c-空间X,如果P有最小元或X是连通的,那么函数空间[X→P]上的Isbell拓扑和Scott拓扑是一致的.（3）对拟连续UF L-domain P和Scott-c空间X,如果P有最小元或X是不可约的,那么函数空间[X→P]上的Isbell拓扑和Scott拓扑是一致的.最后,继续讨论了上述提到的公开问题,并且对domain到拟连续domain的函数空间的Lawson紧性进行了探索.主要结果如下:对于带有最小元且具有M性质的拟连续domain P和SL-domain X,如果X是coherence的并且是代数的,那么函数空间[X→P]上的Isbell拓扑和Scott拓扑是一致的;如果X具有M性质,那么函数空间[X→P]是Lawson紧的.
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