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在现实生活中，非线性矩阵方程的应用非常广泛，包括控制理论，运输理论，动态规划，梯形网络分析，统计规划，随机筛选和工程计算等多个领域.求解此类方程已成为非线性分析和数值代数中研究的一个重要课题.求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解.本文研究矩阵方程X±A*XqA=I(0＜q＜1)的Hermite正定解.其中，A是n×n阶非奇异矩阵，I是n×n阶单位矩阵，A*是A的伴随矩阵.本文首先用一种新的方法证明了矩阵方程X－ A*XqA=I(0＜q＜1)的解的存在唯一性，给出矩阵方程X+ A*XqA=I(0＜q＜1)存在唯一解的更宽泛的条件;然后介绍用同伦延拓法求矩阵方程解的数值方法;最后用数值例子验证了文中结论的正确性.本文的主要结论如下:定理1 K是n×n半正定矩阵构成的锥，K°为n×n正定矩阵构成的集合.令X0∈K，A1，A2，…，Am-1是n×n非奇异矩阵，0＜q1≤q2≤…≤qm-1＜qm，则存在唯一的X∈K°，使得X0+ A*1Xq1A1+A*2Xq2A2+…+A*m-1Xqm-1Am-1=Xqm成立.
推论1若A为非奇异矩阵，则矩阵方程X-A*XqA=I(0＜q＜1)有唯一正定解.
定理2矩阵方程X+ A*XqA=I中，如果A=αN，其中α是任意复数，N为酉矩阵，则该方程有唯一解X=δI.δ是方程x+｜α｜2 xq=1的唯一解.
定理3假设X是矩阵方程X+ A*XqA=I的正定解，
(i)若矩阵A满足A*A≤(q+1)q-1/qqI，则λmax(X)≥q/q+1;
(ii)若矩阵A满足λmax(A*A)≥(q+1)q-1/qq，则λmin(X)≤q/q+1.
定理4非线性矩阵方程X+ A*XqA=I在区间[q/q+1I，I]或[0，q/q+1I]上有解，则它是唯一的.
定理5若A满足下列条件之一:(i)｛A*A≤(q+1)q-1/qqI（q/q+1）qA*A+1/q√q+1(AA*)-1/q≥I(ii)｛λmax(A*A)≥(q+1)q-1/qq（q/q+1）qλmin(A*A)+1/q√(q+1)λmax(A*A)≥1则矩阵方程X+ A*XqA=I有唯一解X.
定理6在区间[0，1]上存在一组分点0=t0＜t1＜…＜tN=1和整数序列jk，k=1，2，…，N-1，使点列｛Xk,j+1=G(Xk,j，tk) j=0，1，…，jk-1Xk+1,0=Xk，jk，X1,0=I k=1,2，…，N-1有定义，其中G(X(t)，t)=I+ tA*XqA，且j→∝时，XN,j+1=G(XN,j,1),j=0,1,…收敛到X(1).
定理7若矩阵A满足A*A≤(q+1)q-1/qqI，(q/q+1)qA*A+1/q√q+1(AA*)-1/q≥I，则在区间[0，1]上存在一组分点0=t0＜t1＜…＜tN=1和整数序列jk，k=1，2，…，N-1，使点列｛Xk,j+1=G(Xk,j，tk) j=0，1，…，jk-1Xk+1，0=X,jk，X1.0=I k=1，2，…，N-1有定义，其中G(X(t)，t)=I-tA*XqA，且j→∝时，XN,j+1=G(XN,j,1),j=0,1,…收敛到X(1).
定理8若矩阵A满足条件λmax(A*A)≥(q+1)q-1/qq，（q/q+1）qλmin(A*A)+1/q√(q+1)λmax(AA*)≥1，(η)i(i=1，2，…，n)是矩阵A的奇异值，且η1≤η2≤…≤ηn，则在区间[0，1]上存在一组分点0=t0＜t1＜…＜tN=1和整数序列jk，k=1，2，…，N-1，使点列Xk，j+1=G(Xk,j，tk) j=0，1，…，jk-1Xk+1,0=Xk,jk,X1,0=δI k=1,2，…，N-1有定义，其中G(X(t)，t)=[B(t)(I-X)-1B*(t)]-1/q，B(t)=M（tΛ+（1-t）ηn）N，δ是方程x+η2nxq=1的正解，且j→∝时，XN,j+1=G(XN,j,1)，j=0,1,…收敛到X(1).