生物数学是数学与生物学的一个交叉学科.自1798年,Malthus为研究人口增长问题提出一种数学模型以来,数学模型就成为研究生物学的一种重要工具.众多学者利用数学理论和方法研究各种生态模型,并将研究成果用于解释一些生态学现象.种群生态学是研究种群的生长、死亡、竞争、捕食和互惠关系的学科.而互惠关系普遍存在于生态环境中.在自然界中,两个互惠种群的相互影响是非常复杂的,既有线性密度制约，又有非线性密度制约.同时,为了寻找食物或繁殖,种群并不是静止地生活在一定的空间区域中,研究人员发现空间扩散也是影响种群性态的重要因素.因此本文将考虑扩散及非线性密度制约对种群密度的影响,通过建立一类受非线性密度影响的互惠扩散模型,并运用偏微分方程的一些理论和方法进行定性分析.此外,种群由于受到季节及生物习性等周期因素的影响,其数量也可能会出现周期性的现象.具体内容包含以下章节.第一章我们简要地介绍与本文所研究的问题有关的背景知识和已经取得的相关研究成果,并提出本文的主要研究内容.第二章作为预备知识,首先引入本文要用到的几个基本概念,再通过先验估计及强极值原理等方法得到整体解的存在唯一性,最后利用比较原理得到解的一致有界性.第三章研究了解的渐近性态.首先利用特征子空间的分解和线性化方法讨论了各个平衡点的局部稳定性,并用上下解方法得到正平衡点在一定条件下是全局渐近稳定的.最后,证明了在一定条件下随着时间的无限增大,种群密度也无限增长.第四章讨论了具周期系数的互惠模型.利用上下解方法、单调迭代序列证明了其周期解的存在性和初值问题的稳定性.第五章使用Matlab软件对常系数互惠扩散模型和具周期系数的相应问题进行数值模拟.利用数值模拟进一步说明前面所得理论结果的正确性.第六章对本文的主要研究内容进行总结,给出研究结果的生物学解释,并在此基础上对今后的研究工作作一定的探讨.