与Fourier变换、Gabor变换相比,小波变换是空间(时间)和频率的局部变换,因而能有效地从信号中提取信息。小波分析已成为应用数学、物理学、计算机、信息、图像处理等多个学科研究的热点。本文首先从多采样率滤波器组的角度对Mallat离散小波分解算法中的离散细节频谱错位问题进行了详细的分析。其次从3 2进多分辨率分析出发,提出了一种新的离散小波变换快速分解合成算法,该算法包括:抽取方法,信号处理结构,尺度函数与小波函数的选择以及相应的滤波器的选择。数值例子的仿真表明,该算法解决了传统的Mallat离散小波变换快速算法在分解的过程中存在离散细节频谱错位问题,同时证明了Truchetet教授给出的有理数“Littlewood-Paley”小波基数学表达式有误,同时给出了其正确的数学表达式,并得到了Truchetet教授的肯定。最后将地质统计学中的变差函数引入到图像的边缘检测中,基于区域化变量理论,针对受噪声污染的图像,本文提出了一种基于变差函数的多尺度边缘检测新方法,并定义了两个变量——η和平均变差函数R (θ),并证明了受高斯噪声污染的图像中某一方向上距离为h的变差函数值r ’( x , h)等于该方向上距离为h未加噪声时的r ( x , h )值与加入的高斯白噪声方差之和。进而,可以将图像的各个子区域的水平和垂直方向上的所有平均变差函数值中的最小值可以作为加入的高斯白噪声方差的估计值。通过η,R (θ)来判断图像中各个不同区域的是否存在边缘以及边缘的方向性,然后根据该区域边缘的方向性,在水平和垂直方向分别进行不同尺度的小波变换,进而达到在确保边缘定位准确的同时,最大可能去除由于噪声以及图像灰度不均匀产生的伪边缘点。