Weierstrass函数是经典的分形函数，最初由Weierstrass所构造，后经Hardy改进.1977年Mandelbrot指出此函数图像具有分形性质，证明其Hausdorff维数严格大于1，并精确给出Box维数，这导致了著名猜想:Weierstrass函数图像的Hausdorff维数是否与其Box维数相等.这个猜想引起人们对此函数的研究热情.鉴于猜想的困难性，人们想通过研究变形的Weierstrass函数来解决猜想.本论文研究Weierstrass函数的一种主要变形:将Weierstrass函数中余弦函数替换为Rademacher函数R(x)=sgn(sin2πx)而得到如下形式的Rademacher级数∑n≥0anR（2n-1x）.在对Rademacher级数水平集Ea={x∈[0，1]:∑∞n=1anR(2n-1x)=a}的研究中，富有代表性的是Beyer、吴军、吴敏和奚李峰等人的工作，这里{an}是R上的序列且满足如下条件(H){an}(∈)(e)1，an→0(n→∞）.(H)他们刻画了Ea的Hausdorff维数，证明了在条件(H)下其值为1，其中Beyer附加序列{an}属于(e)2，吴军将此条件减弱为序列{an}满足{an-an+1}属于(e)1，奚李峰去掉了吴军的条件，而吴敏讨论了复值Radcmacher级数的水平集的维数.　　当研究多个水平集交集时，可以将其转化为研究系数序列为向量列的Rademacher级数.即{an=（an(1)，an(2)，…，an(d))}.即使所有的分量列均满足条件(H)，此级数的值域未必等于全空间，这是一个全新的问题.因此在讨论水平集交集的维数前，首先需要确定Rademacher级数值域R({an})的范围.　　本文首先对二维复平面的情形进行了详细讨论.研究复系数Radcmachcr级数值域性质的困难点主要有两个:一是如何确保Rademacher级数的收敛性，即如何根据序列{cn=(an，bn)=an+ibn}自身的性质挑选合适的实数x，使所对应的级数收敛;二是如何证明Rademacher级数的值域具有非空内部，即含有内点.这里利用联合技巧（引理3.7）和Moran迭代系统来解决这两个困难.我们得到如下稠密性定理.　　定理A设复序列{cn}∞n=1不可和，则值域R({cn})在复平面稠密当且仅当{cn}∞n=1是线性不可和的，即对任意满足α+iβ≠0的实数，序列{αan+βbn}∞n=1为不可和序列.　　令我们感到吃惊的是，存在例子（例5.3），它说明值域R({cn})仅在复平面稠密但不等于复平面.为确定值域R({cn})填满全平面，我们定义了比率:若存在不可和子列{cnk}∞k=1使得limk→∞ank/bnk=t，则称t为复序列{cn}∞n=1的比率.利用比率，我们得到如下值域填满全平面的定理.　　定理B设复序列{cn}∞n=1不可和.若它有两个不同比率，则值域R({cn})等于复平面.　　在Rademacher级数的值域等于复平面的基础上，我们利用Beurling密度的技巧得到如下有关水平集维数的结论.　　定理C设复序列{cn}∞n=1是线性不可和的，则对任意ε＞0，c∈C，有dimH{x∈[0，1）:∑∞n=1cnR(2n-1x)∈B(c，ε)}=1.若它有两个不同的比率，则对任意c∈C，有dimHEc=1.　　其次，本文研究高维（系数维数大于2）的情形.此时复平面上用于证明级数收敛性的关键引理3.7在高维情形下已不再成立，我们采用向量序列面罩思想克服了这个困难，证明定理A在高维情形也成立.此外，使用重组序列的技巧解决了值域包含内点的困难点.称向量v为序列{an=（an(1),…，an(d))}的方向，如果存在不可和子列{ank}和整数1≤i≤d，使得limk→∞（ank(1)/ank(i)，…，ank(d)/ank(i)）=v.我们得到如下定理，其中可变方向和联合方向见第四章.　　定理D设{an}∞n=1是Rd中的序列.如果{an}∞n=1有d个（可变）方向，并且这d个（可变）方向所对应矩阵是非奇异的，则R（{an}）充满全空间.　　定理E设{an}∞n=1是Rd中不可和序列，a∈Rd为向量.如果{an}是线性不可和序列，则对任意ε＞0，有dimH{x∈[0，1）:∑n≥1anRn(x)∈B(a，ε)}=1.如果{an}至少有d个联合方向，并且这d个联合方向可以构成一个非奇异矩阵，则dimHEa=1.　　再次，本文列举了一些特殊的实例来阐述上述两部分的理论.我们利用无限组合的思想和一般Moran集证明了　　定理F设线性不可和复序列{cn=an+ibn}满足limn→∞bn/an=0.如果存在子序列{cnk}∈(e)1使得对任意k成立∑j＞k|bnj|＞|bnk|，则R({cn})=C.特别的，复数序列{cn=1/n+i/n(l)nn}所诱导级数的值域等于全平面.　　最后，本文研究了一维直线上不收敛水平集的Hausdorff维数.我们利用自然数的Beurling密度和符号空间上的局部H(ǒ)lder连续性证明了当序列满足条件(H)时，其不收敛水平集的Hausdorff维数也为1，这个结论有助于我们了解Weierstrass函数的维数问题.