边界元法具有只在边界离散单元、计算精度高和适合处理无限域问题等优点。但是边界元法求解大规模问题时最终都将化为对线性方程组的求解，因而当划分的单元比较多时，其运算量和存储量都将剧增，限制了边界元法在大规模工程中的应用。GMRES算法是提高计算速度，扩大求解规模的一种良好途径。本文主要以Laplace方程为研究背景，结合边界元方法和GMRES算法，对其数值解进行了深入分析和研究。本文所开展的主要研究工作如下：　　(1)在对边界元法的背景、意义及研究现状分析的基础上，重点研究了二维Laplace方程边界问题的边界元解法，并给出了数值模拟及结果分析。　　(2)以单层位势、双层位势的理论为基础，给出了二维Laplace方程边值问题基于位势理论的边界元法。　　(3)为了提高求解规模，减少计算时间，引入了GMRES算法，对该算法的背景、步骤进行了详细的推导和说明。　　(4)对二维Laplace方程Dirichlet内问题及外问题进行边界元离散，结合GMRES算法对其求解，数值模拟结果说明该结合具有精度高、运算速度快等优点。