【摘 要】
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立方和问题是数论中一个经典的丢番图问题.它的目的是确定哪些非零整数n能够表示为两个立方数的和,即是否存在两个非零有理数a和b,使得n=a3+b3.这些方程给出了一类椭圆曲线的
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立方和问题是数论中一个经典的丢番图问题.它的目的是确定哪些非零整数n能够表示为两个立方数的和,即是否存在两个非零有理数a和b,使得n=a3+b3.这些方程给出了一类椭圆曲线的立方扭结族,并且这些椭圆曲线对应的Weierstrass方程为En:y2=x3-2433n2.那么原本的问题变为在每个椭圆曲线上是否存在非平凡的有理点.另一方面,BSD猜想预测了椭圆曲线代数秩和它们的Hasse-Weil L函数在中心值处的阶相等.此外BSD猜想也给出具体的猜想公式,将椭圆曲线的算术信息与L函数的解析信息联系在一起.BSD猜想是算术几何中的一个核心问题,而且对于一般的椭圆曲线,我们知道的还很少.当椭圆曲线的秩为0时,Waldspurger公式是研究BSD猜想的有力工具.如果我们想用它来研究精确BSD猜想,我们需要精确Waldspurger公式.在这种情况下,我们需要计算公式中出现的局部环面积分.起初Gross和Prasad的工作给出了在一些特殊情况下如何寻找测试向量的方法.此后很多人沿用他们的方法进行研究.在[3]中,Cai,Shu,Tian给出了一般的结果.在本文中,我主要介绍[3]中的精确Waldspurger公式及如何选取环面积分中的测试向量的方法.此外我还回顾了[7]中给出的精确Waldspurger公式在模曲线X0(49)中的应用,并用四元数代数的理论给出了在选择测试向量时不同的计算过程.最后我从一个与立方和问题相关的椭圆曲线出发,给出精确Waldspurger公式的一些算术应用.
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