在工程结构中，梁是最基本的构件之一，各种梁在实际工程中的应用也非常广泛。例如框架结构房屋可视为梁柱的组合，许多桥梁使用的也是连续梁结构。因此，广大力学研究者对梁的位移、应力的分析研究极为重视，对欧拉梁和铁木辛柯梁的弯曲、屈曲、振动问题进行分析研究，得到许多关于梁的弯曲、屈曲、振动等问题的计算公式。本文运用解析方法对简支梁理论的适用性进行分析，从梁的平面弯曲出发，运用对周期结构进行精确分析的U变换法，结合平面有限单元，计算简支梁在横向荷载作用时的位移和内力，屈曲载荷及固有频率的解析解，并与Euler-Bernoulli梁理论和Timoshenko梁理论的计算结果相比较，考虑跨高比的影响，分析经典梁理论基本假定的适用性和经典计算公式的误差。基于四结点平面梁单元，对均布荷载作用下的简支梁的弯曲变形问题进行分析，推导得到了简支梁跨中上下表面的挠度表达式。并与Euler-Bernoulli梁理论和Timoshenko梁理论的计算结果相比较，得到了不同跨高比情况下经典梁理论计算公式的误差值。结果表明随着梁跨高比L/h的增大，即浅梁挠度w_E和深梁挠度w_E相对于解析解的误差逐渐减小，并且浅梁挠度与上表面挠度解析解更加接近，深梁挠度与下表面挠度解析解更加接近。当梁的跨高比较小时，浅梁理论的计算结果会产生巨大的误差，而深梁理论的计算结果与解析解较为接近，此时相对误差小于3.5%。 L/h≥7时，浅梁解的相对误差小于5%，能够充分满足实际工程需要。基于六结点平面梁单元，对于均布荷载作用下的简支梁的弯曲问题进行分析，推导得到了简支梁支座处上下表面的转角表达式。并与经典梁理论的计算结果进行比较，得到了不同跨高比情况下上下表面的转角经典梁计算公式的误差值，以及平截面假定的适用范围。结果表明，在不同跨高比下梁上下表面的转角θ₁与θ₂都存在一定的差值。随着梁高跨比L/h的增大， θ₁与θ₂之间的差值并未发生太大变化；当梁的跨高比L/h＞2时θ₂相对于θ₁更加接近于经典梁理论的转角结果θ_E，即梁下表面的转角与经典梁理论的转角公式的值更加接近。同时，随着跨高比L/h不断增大，经典梁理论下的数值解E与解析解θ₁与θ₂之间的误差不断增大，但是误差始终保持在10%以内。基于四结点和六结点平面梁单元，对轴向受压杆的屈曲和简支梁的固有频率进行了分析。分别得到了轴向受压杆的屈曲荷载和简支梁的固有频率的解析解，并与经典理论的表达式进行了比较。且均得到屈曲荷载和固有频率解析解的收敛率，收敛率均为n^-2。